Feladat: F.2217 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Akli Mária ,  Andrássy P. ,  Bali J. ,  Beleznay F. ,  Bohus G. ,  Csere K. ,  Csikós Zs. ,  Dominyák Ilona ,  Fekete Z. ,  Gombás L. ,  Halász P. ,  Hátsági Zs. ,  Heckenast L. ,  Horváth 624 R. ,  Hosszú G. ,  Ivancsa J. ,  Juhász I. ,  Kappelmayer Hedvig ,  Károlyi Gyula ,  Király Z. ,  Kiss 352 Gy. ,  Kiss E. ,  Kőnig L. ,  Lévai P. ,  Lipusz Cs. ,  Mármarosi J. ,  Mészáros G. ,  Mészáros Gy. ,  Molnár 829 I. ,  Musch Z. ,  Nagy Kolozsvári Á. ,  Ódor T. ,  Pongrácz A. ,  Regős Enikő ,  Sárvári G. ,  Simonyi G. ,  Strádl J. ,  Sz. Nagy Cs. ,  Szállási Z. ,  Szegedy P. ,  Szirmay L. ,  Terenyi Z. ,  Umann G. ,  Valet B. ,  Várkonyi B. 
Füzet: 1980/február, 62 - 63. oldal  PDF file
Témakör(ök): Számsorozatok, Természetes számok, Teljes indukció módszere, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1979/október: F.2217

Legyen a1, a2, ... természetes számokból álló monoton növekvő sorozat. Bármely természetes szám vagy eleme a sorozatnak, vagy egyértelműen előállítható a sorozat két különböző tagjának összegeként. Bizonyítsuk be, hogy an<n2.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A nullát természetes számnak tekintjük, és így a1=0, hiszen a 0 nem állítható elő két nála nagyobb szám összegeként.
Az a1, a2, ..., an számok (összesen n darab), illetve azokból alkotott párok összegei (összesenn(n-1)2darab) együttesen ki kell hogy adják az összes, an+1-nél kisebb természetes számot, melyekből an+1 van (a 0 is természetes szám). Ezért az

n+n(n-1)2an+1
egyenlőtlenségnek fenn kell állnia, ahonnan an+1<(n+1)2 azonnal adódik.
 

Károlyi Gyula (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., II. o. t.)

 

Megjegyzések.
1. A dolgozatok elbírálása a következő szempontok szerint történt:
Helyes: azoké, akik a feladatot kifogásolható részek nélkül megoldották.
Kissé hiányos: azok a dolgozatok, amelyekben az a1-et 1-nek választják és elkenik az egyenlőség (a1=12) problémáját; vagy hamis magyarázatot adnak rá (pl. egy szám nem alkot sorozatot). Szerintük n=1-re nem igaz az állítás, de ezt csak azzal támasztják alá, hogy a1=1, ezt viszont nem indokolják.
Hiányos: Konkrét számsorozattal kísérleteznek, de nagyon hiányos magyarázatot adnak hozzá; nem derül ki, hogy milyen meggondolásból jutottak a sorozathoz.
Hibás: bizonyítani vagy cáfolni vélik az állítást, de okoskodásuk nem elfogadható: önmaguknak mondanak ellent, durva számolási, egyenlőtlenségkezelési hibát vétenek. Vannak (még mindig) olyanok is, akiknek csak a számtani vagy a mértani sorozat sorozat.
 


2. A feladatnak többféle értelmezése lehetséges. Erre a megoldók közül is többen rámutattak.
a) A nullát a természetes számok közé soroljuk, miként azt az új első osztályos gimnáziumi tankönyv is teszi. Ha most a feladatban szereplő vagylagosságot megengedő értelemben értjük (azaz egy szám akkor is lehet eleme a sorozatnak, ha két sorozatbeli szám összegeként is előállítható), akkor a közölt megoldáshoz jutunk. Ebben az esetben létezik a feltételeknek megfelelő sorozat, például a természetes számok sorozata: 0, 1, 2, 3, ... A 3-at ki is hagyhatjuk a sorozatból, mivel egyértelműen állítható elő a sorozat két különböző tagjának összegeként. Ha a 3-at kihagyjuk, akkor kihagyható az 5, és ennek következtében a 6 is. A kihagyások révén további kihagyások válnak lehetővé. Azok a számok, melyek többféleképpen is előállíthatók a sorozat két különböző tagjának összegeként, nem hagyhatók ki. Ha az előállítás egyértelműségét nem kötnénk ki, még hézagosabb sorozatok is szerkeszthetők lennének, így an gyorsabban nőhetne. A megoldásban nem használtuk fel az egyértelműséget, a feladat állítása tehát enélkül is érvényes.
Ha a vagylagosságot kizáró értelemben értjük (azaz a sorozat elemei nem állíthatók elő a sorozat két különböző tagjának összegeként), akkor nem létezik a feladat feltételeit kielégítő sorozat. Mivel a1=0, a2=t tetszőleges természetes szám esetén t eleme a sorozatnak, de előállítható a1 és a2 összegeként is.
b) Végül nézzük, milyen következménnyel jár, ha a nullát nem soroljuk a természetes számok közé! Ekkor a1 szükségképpen 1-gyel egyenlő, így a feladat állítása n=1-re nem teljesül. Ha a vagylagosságot megengedő értelemben értjük, akkor n>1 esetén az állítás igaz. Ha a vagy kizáró értelmű, akkor a sorozat szigorúan monoton. Az első öt tag csak 1, 2, 4, 7, 10 lehet, de 1+10=4+7, azaz ilyen sorozat nem létezik.