Feladat: F.2214 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1980/január, 12 - 13. oldal  PDF file
Témakör(ök): Kör egyenlete, Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Parabola, mint mértani hely, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1979/szeptember: F.2214

Adott egy kör, k, egy átmérője PQ, és két, PQ-ra merőleges egyenes, e és f. Jelöljük k és e egyik metszéspontját (ha van) E1-gyel, a P középpontú E1-en átmenő kör f-fel alkotott metszéspontjait (ha vannak) F1-gyel, F2-vel. Mi az F1, F2 pontok mértani helye, ha e és f minden olyan helyzetet felvesz, amelyben a távolságuk egy adott d szakasz hosszával egyenlő?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Helyezzük alakzatunkat úgy a koordináta-rendszerbe, hogy k középpontja az origóban legyen, sugara a hosszegység, és legyen P(-1;0), ekkor k egyenlete x2+y2=1. Legyen továbbá az e egyenes egyenlete x=e, a vizsgálandó helyzetekben -1e1, így f egyenlete x=ed aszerint, hogy balra, illetve jobbra van e-től.

 
 

E1 koordinátái (e,1-e2), ugyanis a szimmetria alapján elég vennünk azt, amelyiknek az ordinátája nem negatív. Hasonlóan F1 és F2 tükrös pontpár az x-tengelyre, így az x-tengely a keresett mértani helynek is szimmetriatengelye lesz. A P közepű, E1-en átmenő kör sugarára:
PE12=(e+1)2+(1-e2)=2+2e,
így e kör egyenlete: (x+1)2+y2=2+2e(0.)
Innen a két F pont ±y ordinátájának négyzetét x=ed helyettesítéssel kapjuk:
y2=2+2e-(ed+1)2=-(ed)2+1±2d,
vagyis F1 és F2 koordinátáinak négyzetösszege nem függ e helyzetétől, csak e és f távolságától ‐ ami viszont állandó ‐, éspedig
x2+y2=1±2d.

Eszerint az F pontok egy-egy, a k-val koncentrikus k', illetve k" körön vannak, melynek sugara 1+2d(>1), ekkor f balról követi e-t, illetve 1-2d(<1) hacsak d<1/2. A d=1/2 esetben F egyetlen lehetséges helyzete O, d>1/2 mellett pedig e-től jobbra fekvő f esetében egyáltalán nincs F1,2 pont.
Meg kell vizsgálnunk, hozzátartozik-e a mértani helyhez k'-nek, illetve k"-nek minden pontja. k' az x tengely mentén mindkét irányban túlnyúlik k-n, ezért csak egy része felelhet meg. e-nek jobb szélső (E1-et adó) helyzetében e=1, így k'-ből csak az x1-d ívről lehet szó. Minden ezen az íven fekvő pontja hozzá is tartozik a mértani helyhez, mert k'-nek még a bal szélső F* pontjához is visszakereshető k-n az őt előállító E* pont, ugyanis
F*P=1+2d-1<1+2d+d2-1=d.
(Hozzátehetjük: viszont k-nak nem minden pontja hoz létre F-et az E1 szerepben, csak amelyekre PQPE1PF*, és egyáltalán nincs k', ha d>4.)
Ha pedig f jobbra van e-től, akkor k" a k belsejében van (d<1/2 mellett), és minden pontja hozzátartozik a mértani helyhez. (Másrészt k-nak most sem minden pontja származtat F-et; jelöljük ugyanis k" bal és jobb szélső pontját B-vel, J-vel, így azok és csak azok a pontok adnak F-et, amelyekre PBPE1PJ.)