Feladat: F.2212 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Danyi Pál 
Füzet: 1980/január, 10 - 11. oldal  PDF file
Témakör(ök): Másodfokú diofantikus egyenletek, Paraméteres egyenlőtlenségek, Egész együtthatós polinomok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1979/szeptember: F.2212

Az a, b, c, d számok egészek. Mutassuk meg, hogy akkor és csak akkor található végtelen sok olyan egészekből álló (x,y) számpár, amelyekre
x2+ax+b=y2+cy+d,(1)
ha a2-4b=c2-4d.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

(1) mindkét oldalát 4-gyel megszorozzuk, majd teljes négyzetté egészítjük ki:

(4x2+4ax+a2)-(4y2+4cy+c2)=a2-4b-c2+4d.
Így ha az
X=(2x+a)+(2y+c),Y=(2x+a)-(2y+c),A=a2-4b-c2+4d
jelöléseket bevezetjük, akkor (1) az XY=A alakra hozható. Mivel az (X,Y) számpár egyértelműen meghatározza az (x,y) számpár értékét, ha (1) végtelen sok (x,y) számpárra teljesül, akkor X és Y közül valamelyik végtelen sok különböző értéket vehet fel, melyek mind osztói A-nak. Így szükségképpen A=0, tehát a2-4b=c2-4d, a feltétel szükséges.
Belátjuk, hogy elégséges is, azaz A=0 esetén találhatunk végtelen sok (1)-et kielégítő egészekből álló (x,y) számpárt. Mivel (1) akkor és csak akkor teljesül, ha XY=A=0, azért X és Y közül valamelyik szükségképpen 0. Legyen például Y=0, ekkor az (x,y) számpárt a
2x+a+2y+c=X,2x+a-2y-c=Y=0
egyenletrendszer megoldása adja, azaz
x=14(X-2a),y=14(X-2c).
Az a2-4b=c2-4d feltételből következik, hogy a és c paritása megegyezik. Így ha X olyan páros szám, amelyre X/2 az a-val és c-vel megegyező paritású, akkor az egyenletrendszer megoldásai is egészek. Mivel végtelen sok ilyen X egész szám van, és ezek mindegyikére (x,y) számpár különböző, ezért végtelen sok, (1)-et kielégítő (x,y) számpárt találtunk.
 

 Danyi Pál (Pécs, Nagy Lajos Gimn., I. o. t.)
 
Megjegyzés. Abban az esetben, amikor c=d=0, a feladat állítása azt jelenti, hogy az x2+ax+b polinom akkor és csak akkor lesz végtelen sok különböző egész helyen négyzetszám, ha a polinom egy elsőfokú polinom négyzete.