Kezdőlap


Feladat:	F.2212	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Danyi Pál
Füzet:	1980/január, 10 - 11. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú diofantikus egyenletek, Paraméteres egyenlőtlenségek, Egész együtthatós polinomok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1979/szeptember: F.2212

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

(1) mindkét oldalát $4$ -gyel megszorozzuk, majd teljes négyzetté egészítjük ki:

\begin{matrix} (4 x^{2} + 4 a x + a^{2}) - (4 y^{2} + 4 c y + c^{2}) = a^{2} - 4 b - c^{2} + 4 d . \end{matrix}

Így ha az

\begin{matrix} X = (2 x + a) + (2 y + c), \\ Y = (2 x + a) - (2 y + c), \\ A = a^{2} - 4 b - c^{2} + 4 d \end{matrix}

jelöléseket bevezetjük, akkor (1) az

X Y = A

alakra hozható. Mivel az

(X, Y)

számpár egyértelműen meghatározza az

(x, y)

számpár értékét, ha (1) végtelen sok

(x, y)

számpárra teljesül, akkor

X

és

Y

közül valamelyik végtelen sok különböző értéket vehet fel, melyek mind osztói

A

-nak. Így szükségképpen

A = 0

, tehát

a^{2} - 4 b = c^{2} - 4 d

, a feltétel szükséges.
Belátjuk, hogy elégséges is, azaz

A = 0

esetén találhatunk végtelen sok (1)-et kielégítő egészekből álló

(x, y)

számpárt. Mivel (1) akkor és csak akkor teljesül, ha

X Y = A = 0

, azért

X

és

Y

közül valamelyik szükségképpen

0

. Legyen például

Y = 0

, ekkor az

(x, y)

számpárt a

\begin{matrix} 2 x + a + 2 y + c = X, \\ 2 x + a - 2 y - c = Y = 0 \end{matrix}

egyenletrendszer megoldása adja, azaz

\begin{matrix} x = \frac{1}{4} (X - 2 a), y = \frac{1}{4} (X - 2 c) . \end{matrix}

a^{2} - 4 b = c^{2} - 4 d

feltételből következik, hogy

a

és

c

paritása megegyezik. Így ha

X

olyan páros szám, amelyre

X / 2

a

-val és

c

-vel megegyező paritású, akkor az egyenletrendszer megoldásai is egészek. Mivel végtelen sok ilyen

X

egész szám van, és ezek mindegyikére

(x, y)

számpár különböző, ezért végtelen sok, (1)-et kielégítő

(x, y)

számpárt találtunk.

Danyi Pál (Pécs, Nagy Lajos Gimn., I. o. t.)

Megjegyzés. Abban az esetben, amikor

c = d = 0

, a feladat állítása azt jelenti, hogy az

x^{2} + a x + b

polinom akkor és csak akkor lesz végtelen sok különböző egész helyen négyzetszám, ha a polinom egy elsőfokú polinom négyzete.