Feladat: F.2135 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Ármos L. ,  Bene Gy. ,  Boros T. ,  Csikós B. ,  Deák Anna ,  Erdélyi T. ,  Fazekas G. ,  Gát Gy. ,  Hajnal P. ,  Horváth Á. ,  Kamondi Z. ,  Lengvárszky Zs. ,  Pintér F. ,  Pirkó J. ,  Ráth Gy. ,  Sali A. ,  Simek A. ,  Szabó 284 Sándor ,  Szekeres B. ,  Takács 405 Gabriella ,  Varga 711 G. ,  Winkler R. 
Füzet: 1978/december, 209 - 210. oldal  PDF file
Témakör(ök): Algebrai átalakítások, Nevezetes azonosságok, Oszthatósági feladatok, Polinomok szorzattá alakítása, Természetes számok, Szorzat, hatvány számjegyei, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1978/február: F.2135

Mutassuk meg, hogy minden N természetes számhoz van olyan n egész szám, hogy az x2+x+n kifejezés értéke legalább N különböző egész helyen négyzetszám.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Azt kell igazolnunk, hogy az

x2+x+n=y2(1)
egyenletnek, megfelelő n választása esetén legalább N megoldása van. (1) ekvivalens azzal, hogy
(2y-2x-1)(2y+2x+1)=4n-1.(2)

Próbáljunk 4n-1 értékéül olyan számot választani, melyet legalább N különböző módon fel tudunk bontani két páratlan egész szám szorzatára. Ez a helyzet például a 35N szám esetében, minden 0kN-re megfelelő felbontás a (35k)5N-k. Ezeket (2) megfelelő tagjaival egyenlővé téve
2yk-2xk-1=35k,2yk+2xk+1=5N-k,4n-1=35N;
ahonnan xk-ra, yk-ra és n-re a következő értékek adódnak:
(3)xk=5N-k-14-35k-14-1(4)yk=5N-k-14-35k-14+1}minden0kN-re,
valamint
n=35N-14+1.(5)
Mivel 5s-1 osztható 5-1=4-gyel, ezek egészek. Így n-nek az (5) szerinti értéket adva a (3) alatti xk értékekre x2+x+n értéke négyzetszám lesz. Ezek az xk -k mind különbözők, ugyanis ha xk=xl, akkor yk, yl>0 miatt (1) szerint yk=yl is igaz, ahonnan 35k=35l, azaz k=l. Ezzel a feladat megoldását befejeztük.
 

Megjegyzések. 1. A 3-as szorzóra azért volt szükségünk, mivel enélkül n-re nem adódott volna egész érték.
2. Az (5)-beli n értéket választva, x2+x+n pontosan 2N+2 különböző helyen lesz négyzetszám. Másrészt tetszőleges n-re azon x egészek száma, melyekre x2+x+n négyzetszám, mindig páros és legalább 2.
3. Bár az x2+x+n kifejezés értéke akárhány helyen négyzetszám lehet, mégsincs olyan n, amire végtelen sokszor az volna.