Kezdőlap


Feladat:	F.2135	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Ármos L. , Bene Gy. , Boros T. , Csikós B. , Deák Anna , Erdélyi T. , Fazekas G. , Gát Gy. , Hajnal P. , Horváth Á. , Kamondi Z. , Lengvárszky Zs. , Pintér F. , Pirkó J. , Ráth Gy. , Sali A. , Simek A. , Szabó 284 Sándor , Szekeres B. , Takács 405 Gabriella , Varga 711 G. , Winkler R.
Füzet:	1978/december, 209 - 210. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Nevezetes azonosságok, Oszthatósági feladatok, Polinomok szorzattá alakítása, Természetes számok, Szorzat, hatvány számjegyei, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1978/február: F.2135

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Azt kell igazolnunk, hogy az

\begin{matrix} x^{2} + x + n = y^{2} \end{matrix}

(1)

egyenletnek, megfelelő

n

választása esetén legalább

N

megoldása van.

(1)

ekvivalens azzal, hogy

\begin{matrix} (2 y - 2 x - 1) (2 y + 2 x + 1) = 4 n - 1. \end{matrix}

(2)

Próbáljunk

4 n - 1

értékéül olyan számot választani, melyet legalább

N

különböző módon fel tudunk bontani két páratlan egész szám szorzatára. Ez a helyzet például a

3 \cdot 5^{N}

szám esetében, minden

0 ≦ k ≦ N

-re megfelelő felbontás a

(3 \cdot 5^{k}) \cdot 5^{N - k}

. Ezeket (2) megfelelő tagjaival egyenlővé téve

\begin{matrix} 2 y_{k} - 2 x_{k} - 1 = 3 \cdot 5^{k}, \\ 2 y_{k} + 2 x_{k} + 1 = 5^{N - k}, \\ 4 n - 1 = 3 \cdot 5^{N}; \end{matrix}

ahonnan

x_{k}

-ra,

y_{k}

-ra és

n

-re a következő értékek adódnak:

\begin{matrix} \begin{matrix} (3) & x_{k} = \frac{5^{N - k} - 1}{4} - 3 \cdot \frac{5^{k} - 1}{4} - 1 \\ (4) & y_{k} = \frac{5^{N - k} - 1}{4} - 3 \cdot \frac{5^{k} - 1}{4} + 1 \end{matrix}} minden 0 ≦ k ≦ N -re, \end{matrix}

valamint

\begin{matrix} n = 3 \cdot \frac{5^{N} - 1}{4} + 1. \end{matrix}

(5)

Mivel

5^{s} - 1

osztható

5 - 1 = 4

-gyel, ezek egészek. Így

n

-nek az

(5)

szerinti értéket adva a

(3)

alatti

x_{k}

értékekre

x^{2} + x + n

értéke négyzetszám lesz. Ezek az

x_{k}

-k mind különbözők, ugyanis ha

x_{k} = x_{l}

, akkor

y_{k}

y_{l} > 0

miatt

(1)

szerint

y_{k} = y_{l}

is igaz, ahonnan

3 \cdot 5^{k} = 3 \cdot 5^{l}

, azaz

k = l

. Ezzel a feladat megoldását befejeztük.

Megjegyzések. 1. A

3

-as szorzóra azért volt szükségünk, mivel enélkül

n

-re nem adódott volna egész érték.
2. Az

(5)

-beli

n

értéket választva,

x^{2} + x + n

pontosan

2 N + 2

különböző helyen lesz négyzetszám. Másrészt tetszőleges

n

-re azon

x

egészek száma, melyekre

x^{2} + x + n

négyzetszám, mindig páros és legalább

2

.
3. Bár az

x^{2} + x + n

kifejezés értéke akárhány helyen négyzetszám lehet, mégsincs olyan

n

, amire végtelen sokszor az volna.