Feladat: F.2117 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: -
Megoldó(k):  Ármos L. ,  Banyár J. ,  Bártfai J. ,  Bartha I. ,  Bencze I. ,  Bene Gy. ,  Blázsik Z. ,  Boros T. ,  Buczolich Z. ,  Csikós B. ,  Csordás A. ,  Erdélyi T. ,  Filakovszky P. ,  Gát Gy. ,  Hajnal P. ,  Horváth 164 T. ,  Hülber E. ,  Kántor S. ,  Kiss 171 Zs. ,  Kovács 242 G. ,  Lakatos P. ,  Lengvárszky Zs. ,  Lukács 258 Erzsébet ,  Mala J. ,  Mészáros a. ,  Mihalkó J. ,  Nagy 267 J. ,  Nagy 691 T. ,  Papp 513 A. ,  Papp 517 Zs. ,  Pósafalvi A. ,  Sali A. ,  Szabó 284 Sándor ,  Szabó 726 T. ,  Szegedy M. ,  Takács 618 P. ,  Vajda Júlia ,  Varga J. ,  Varga Lívia ,  Várnagy P. ,  Winkler R. 
Füzet: 1978/március, 102 - 103. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egészrész, törtrész függvények, Logikai feladatok, Természetes számok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1977/november: F.2117

A természetes számok a világ egy félreeső zugában klubot alakítottak. A klub alapszabályzata kimondja, hogy egy természetes szám csak úgy lehet tagja a klubnak, ha egyrészt a négyszerese, másrészt négyzetgyökének egész része is tag. Mutassuk meg, hogy ha a klubnak van tagja, akkor minden természetes számnak tagnak kell lennie.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A klub egyik tagja legyen x. Az alapszabály értelmében ennek 4-szerese, azaz 4x is tag, ennek négyszerese, 42x stb. vagyis minden k természetes számra 4kx is tagja a klubnak.
Legyen most y1 tetszőleges természetes szám. Azt szeretnénk megmutatni, hogy y is tagja a klubnak. Ehhez elegendő olyan t tagot találnunk, amelyre y2t<(y+1)2, hiszen ekkor t négyzetgyökének egész része éppen y, és így az alapszabályzat értelmében tag. Ahhoz, hogy ilyen t tag létezzen, elegendő, hogy legyen olyan u tagja a klubnak, melyre y4u<(y+1)4, ekkor u négyzetgyökének egész része megfelelő t tagot ad. Általában ha van a klubnak az [y2n,(y+1)2n-1] zárt intervallumba eső tagja, akkor az alapszabályzat második feltételét n-szer alkalmazva kapjuk, hogy y-nak is tagnak kell lennie. Mivel 4kx minden k-ra tag, elegendő bizonyítanunk, hogy léteznek olyan k és n természetes számok, melyekre

y2n4kx<(y+1)2n(1)
vagy mindjárt 4 alapú logaritmusra áttérve
2nlog4y-log4xk<2nlog4(y+1)-log4x.(2)
Mivel 0log4y<log4(y+1), azért választhatjuk n-et olyan nagyra, hogy a jobb és bal oldal értéke legalább 1-gyel térjen el (ehhez 2n-nek nagyobbnak kell lennie (log4(y+1)-log4y)-1-nél), továbbá hogy a jobb oldalon 1-nél nagyobb szám álljon. Ilyen n-re mindig található (2)-t kielégítő k természetes szám (például a legnagyobb, de a jobb oldalánál még kisebb egész szám mindig megfelelő). Találtunk tehát (2)-t s ezzel (1)-et kielégítő k, n természetes számokat, amivel a feladat állítását is igazoltuk.