A klub egyik tagja legyen $x$. Az alapszabály értelmében ennek $4$-szerese, azaz $4x$ is tag, ennek négyszerese, $4^{2}x$ stb. vagyis minden $k$ természetes számra $4^{k}x$ is tagja a klubnak.
Legyen most $y\geqq 1$ tetszőleges természetes szám. Azt szeretnénk megmutatni, hogy $y$ is tagja a klubnak. Ehhez elegendő olyan $t$ tagot találnunk, amelyre $y^2\leqq t<{\left(y+1\right)}^2$, hiszen ekkor $t$ négyzetgyökének egész része éppen $y$, és így az alapszabályzat értelmében tag. Ahhoz, hogy ilyen $t$ tag létezzen, elegendő, hogy legyen olyan $u$ tagja a klubnak, melyre $y^4\leqq u<{\left(y+1\right)}^4$, ekkor $u$ négyzetgyökének egész része megfelelő $t$ tagot ad. Általában ha van a klubnak az $\left[y^{2n}\mathrm{,}{\left(y+1\right)}^{2n}-1\right]$ zárt intervallumba eső tagja, akkor az alapszabályzat második feltételét $n$-szer alkalmazva kapjuk, hogy $y$-nak is tagnak kell lennie. Mivel $4^{k}x$ minden $k$-ra tag, elegendő bizonyítanunk, hogy léteznek olyan $k$ és $n$ természetes számok, melyekre