Feladat: F.1798 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1972/szeptember, 9 - 10. oldal  PDF file
Témakör(ök): Azonosságok, Trigonometriai azonosságok, Szinusztétel alkalmazása, Koszinusztétel alkalmazása, Síkgeometriai számítások trigonometriával, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1971/december: F.1798

Jelölje a, b, c, ill. α, β, γ egy háromszög oldalait, ill. szögeit. Hozzuk egyszerűbb alakra a következő kifejezést:
αcosα+bcosβ-ccosγαcosα-bcosβ+ccosγ

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Helyettesítsük K számlálójába a háromszög szögeinek a cosinustétel alapján az oldalakkal való kifejezéseit és hozzunk közös nevezőre:

acosα+bcosβ-ccosγ=12abc{a2(b2+c2-a2)+b2(c2+a2-b2)-c2(a2+b2-c2)}=c4-(a4-2a2b2+b4)2abc=(c2-a2+b2)(c2+a2-b2)2abc=2ccosαcosβ.


(Az utolsó lépésben ismét a cosinustételt használtuk fel.)
Eredményünkből a b és c oldalaknak ‐ és ennek megfelelően a β és γ szögeknek a ‐ felcserélésével kapjuk, hogy K nevezője 2bcosαcosγ-val egyenlő. Ebből egyrészt az következik, hogy K csak akkor van értelmezve, ha sem α, sem γ nem derékszög, másrészt kapjuk, hogy ha απ2,γπ2, akkor
K=ccosbcosβγ.
Ezt a sinustétel alapján tovább egyszerűsíthetjük:
K=tgγtgβ=tgγ  ctg  β.
 

II. megoldás. A 2r=a/sinα=b/sinβ=c/sinγ és ismert goniometriai összefüggések alapján K-t átalakítva kapjuk, hogy
K=sin2α+sin2β-sin2γ)sin2α-sin2β+sin2γ=sin2α+2cos(β+γ)sin(β-γ)sin2α+2cos(β+γ)sin(γ-β)=sinα-sin(β-γ)sinα-sin(γ-β)=sin(β+γ)-sin(β-γ)sin(β+γ)-sin(γ-β)=cosβsinγsinβcosγ=tg  γtg  β.


Közben α+β+γ=π alapján felhasználtuk, hogy cos(β+γ)=-cosα és hogy sinα=sin(β+γ). Mivel a harmadik alakban cosα-val egyszerűsítettünk, átalakításunk akkor érvényes, ha απ2, és K utolsó alakja akkor van értelmezve, ha γπ2.
Könnyen látható, hogy ha akár α, akár γ derékszög, akkor K eredeti alakjában is 0-val egyenlő a nevező.
 

Megjegyzés. Mivel K számlálója is, nevezője is hosszúság, azért maga K puszta szám, csak a szögektől, a háromszög alakjától függhet. Így természetes, hogy a végső alakban csak két szög lépjen föl, hiszen már két szög meghatározza a háromszög alakját.