Kezdőlap


Feladat:	F.1798	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1972/szeptember, 9 - 10. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Azonosságok, Trigonometriai azonosságok, Szinusztétel alkalmazása, Koszinusztétel alkalmazása, Síkgeometriai számítások trigonometriával, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1971/december: F.1798

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Helyettesítsük $K$ számlálójába a háromszög szögeinek a cosinustétel alapján az oldalakkal való kifejezéseit és hozzunk közös nevezőre:

\begin{matrix} a cos α + b cos β - c cos γ = \\ \frac{1}{2 a b c} {a^{2} (b^{2} + c^{2} - a^{2}) + b^{2} (c^{2} + a^{2} - b^{2}) - c^{2} (a^{2} + b^{2} - c^{2})} = \\ \frac{c^{4} - (a^{4} - 2 a^{2} b^{2} + b^{4})}{2 a b c} = \frac{(c^{2} - a^{2} + b^{2}) (c^{2} + a^{2} - b^{2})}{2 a b c} = 2 c cos α cos β . \end{matrix}

(Az utolsó lépésben ismét a cosinustételt használtuk fel.)
Eredményünkből

a

b

és

c

oldalaknak ‐ és ennek megfelelően a

β

és

γ

szögeknek a ‐ felcserélésével kapjuk, hogy

K

nevezője

2 b cos α cos γ

-val egyenlő. Ebből egyrészt az következik, hogy

K

csak akkor van értelmezve, ha sem

α

, sem

γ

nem derékszög, másrészt kapjuk, hogy ha

α \neq \frac{π}{2}, γ \neq \frac{π}{2},

akkor

\begin{matrix} K = \frac{c cos}{b cos} \frac{β}{γ} . \end{matrix}

Ezt a sinustétel alapján tovább egyszerűsíthetjük:

\begin{matrix} K = \frac{tg γ}{tg β} = tg γ ctg β . \end{matrix}

II. megoldás. A

2 r = a / sin α = b / sin β = c / sin γ

és ismert goniometriai összefüggések alapján

K

-t átalakítva kapjuk, hogy

\begin{matrix} K = \frac{sin 2 α + sin 2 β - sin 2 γ)}{sin 2 α - sin 2 β + sin 2 γ} = \frac{sin 2 α + 2 cos (β + γ) sin (β - γ)}{sin 2 α + 2 cos (β + γ) sin (γ - β)} = \\ \frac{sin α - sin (β - γ)}{sin α - sin (γ - β)} = \frac{sin (β + γ) - sin (β - γ)}{sin (β + γ) - sin (γ - β)} = \frac{cos β sin γ}{sin β cos γ} = \frac{tg γ}{tg β} . \end{matrix}

Közben

α + β + γ = π

alapján felhasználtuk, hogy

cos (β + γ) = - cos α

és hogy

sin α = sin (β + γ)

. Mivel a harmadik alakban

cos α

-val egyszerűsítettünk, átalakításunk akkor érvényes, ha

α \neq \frac{π}{2}

, és

K

utolsó alakja akkor van értelmezve, ha

γ \neq \frac{π}{2}

.
Könnyen látható, hogy ha akár

α

, akár

γ

derékszög, akkor

K

eredeti alakjában is

0

-val egyenlő a nevező.

Megjegyzés. Mivel

K

számlálója is, nevezője is hosszúság, azért maga

K

puszta szám, csak a szögektől, a háromszög alakjától függhet. Így természetes, hogy a végső alakban csak két szög lépjen föl, hiszen már két szög meghatározza a háromszög alakját.