Feladat: F.1795 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Kovács István 
Füzet: 1974/november, 109 - 114. oldal  PDF file
Témakör(ök): Alakzatok hasonlósága, Forgatva nyújtás, Parabola egyenlete, Kúpszeletek érintői, Mértani helyek, Parabola, mint kúpszelet, Parabola, mint mértani hely, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1971/november: F.1795

Adott a síkban egy s szakasz és egy parabola, amelynek vezéregyenese d. Határozzuk meg azoknak a P pontoknak a mértani helyét, melyekhez van olyan, P-től s távolságra levő, d-vel párhuzamos v egyenes, hogy a v vezéregyenesű, P fókuszú parabola érinti az adott parabolát.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A feladatot koordináta-geometriai módszerrel oldjuk meg. A koordináta-rendszert úgy választjuk meg, hogy az adott parabola egyenlete y=x2 legyen. Ekkor a parabola d vezéregyenesének egyenlete y=-14. Egy P(u,v) fókuszú, d-vel párhuzamos vezéregyenesű parabola egyenlete, amennyiben a vezéregyenes és fókusz távolsága s, vagy

y=12s(x-u)2+v-s2,(1)
vagy pedig
y=-12s(x-u)2+v+s2,(2)
aszerint, hogy a parabola fókusza a vezéregyenes ,,felett'' vagy ,,alatt'' helyezkedik el (1. ábra).
 

 

1. ábra
 

Vizsgáljuk meg, hogy mely P(u,v) pontok esetén fogja az (1) parabola érinteni az y=x2 parabolát.
Két görbe akkor érinti egymást, ha van közös pontjuk, és a két görbéhez abban a pontban húzott érintők egybeesnek (2. ábra).
 

 

2. ábra
 

Ha a két parabola érinti egymást az x abszcisszájú pontban, akkor az abban a pontban húzott érintők iránytangenseinek meg kell egyeznie. És fordítva: ha ezek megegyeznek, akkor a két görbe érinti egymást.
Az y=x2 görbéhez az x abszcisszájú pontban húzott érintő iránytangense y'=2x; az (1) görbéhez húzott érintő iránytangense y'=1s(x-u). Ennek a két értéknek kell megegyeznie:
2x=1s(x-u),(1-2s)x=u.(3)

Ha már most 2s1, akkor ebből x=u/(1-2s), azaz csak az ilyen abszcisszájú pontban érintheti egymást a két parabola. Ha viszont az x=u/(1-2s) pontban a paraboláknak közös pontja van, akkor ott érintik is egymást. Tehát (2s-1)0 esetén a két parabola csak akkor érinti egymást, ha
(u1-2s)2=12s(u1-2s-u)2+v-s2,
azaz ha u és v között a
v=11-2su2+s2(4)
összefüggés áll fenn.
Ha viszont 2s=1, akkor (3) csak úgy állhat fenn, ha u=0, ekkor viszont az (1) parabolaegyenlet y=x2+v-14 alakú lesz. Így 2s-1=0 esetén az (1) parabola, valamint az y=x2 parabola v14 mellett nem érinti egymást, v=14 mellet pedig azonosak; innen nem kapunk megoldást.
Hasonlóan azt vizsgálva, hogy a (2) parabola és az y=x2 parabola mikor érinti egymást, a 2x=-1s(x-u)-ból az x=u/(2s+1) abszcisszájú pontban lehet csak érintés, és ez 2s+11 miatt mindig értelmes. Így a (2) parabola és az y=x2 parabola csak akkor érinti egymást, ha
(u2s+1)2=-12s(u2s+1-u)2+v+s2,
vagyis ha
v=11+2su2-s2(5)

Összefoglalva, a P(u,v) ponthoz akkor és csak akkor találunk a feladatban előírt tulajdonságú parabolát, ha (5) teljesül, vagy ha 2s-10 és (4) teljesül. Így a keresett mértani hely 2s-10 esetén az
y=11+2sx2-s2,(5')
és az
y=11-2sx2+s2(4')
egyenletek valamelyikét kielégítő pontok (két parabola), míg 2s-1=0 esetén csak az
y=x22-14(5'')
egyenletet kielégítő pontok (egy parabola).
Megvizsgáljuk, hogyan származnak a kapott parabolák az y=x2 parabolából és az adott s szakaszból. Az adott parabola csúcsa a (0;0) pont, fókusza F(0;14), vezéregyenese ‐ mint már mondtuk ‐ az y=-14 egyenes; a (4') parabola csúcsa (0;s2) ‐ ahol s12 ‐, paraméternek fele
14|111-2s|=|14-s2|.
Mármost, ha 0<2s<1, akkor (4') fókuszának ordinátája: s2+(14-s2)=14, vagyis e fókusz azonos F-fel; vezéregyenese pedig az
y=s2-(14-s2)=-14+s
egyenes, a kiindulási parabola vezéregyenesének eltoltja s-sel (fölfelé). Mivel ekkor még s<1/2, azért a föltolt vezéregyenes még alatta van F-nek, fölfelé nyílik a parabola.
Ha viszont 2s>1, azaz s/2>1/4, akkor (4') csúcsa az F fölött van (egyszersmind x2 együtthatója negatív), a parabola lefelé nyílik, fókusza lejjebb van, mint a csúcs. E fókusz ordinátája
s2-|14-s2|=s2-(s2-14)=14,
tehát ekkor is azonos F-fel, vezéregyenese y=-14+s, ekkor is s-sel van föltolva. (De ekkor túl van tolva az F-en.) A kizárt 2s=1 eset pedig azt jelentené, hogy az y=x2 parabola vezéregyenesét rátolnánk a fókuszára; emiatt nem keletkezik ilyenkor P mértani helye az (1) alakból.
Hasonlóan látható ‐ de egyszerűbben ‐, hogy (5') csúcsa minden pozitív s-re a (0;-s/2) pont, fókusza F, vezéregyenese y=-1/4-s, vagyis lefelé van eltolva s-sel.
 

II. megoldás. A feladatot koordináta-rendszer alkalmazása nélkül is megoldjuk. A megoldásban felhasználjuk azt a tényt, hogy a parabola érintője felezi az érintési pontot a fókusszal összekötő egyenes, valamint az érintési pontból a vezéregyenesre emelt merőleges szögét.
Legyen az adott parabola fókusza F, a fókusz és a d vezéregyenes közti távolság p. Tegyük fel, hogy a P fókuszú, v vezéregyenesű parabola a megadott parabolát az E pontban érinti, azaz a két parabolához E pontban közös, e érintő húzható. Mivel a feltétel szerint v és d párhuzamos, ezért az E pontból v-re, illetve d-re bocsátott merőlegesek T1, illetve T2 talppontjai és az E pont egy egyenesen vannak.
Két esetet különböztetünk meg aszerint, hogy a T1T2 szakasz belsejében tartalmazza az E pontot vagy sem.
I. Ha E a T1T2 szakasz belső pontja, akkor F és P az e egyenes különböző oldalára esik, azaz FP=FE+EP. A PT1C1 és az FT2C2 háromszögek (lásd a 3. ábrát) hasonlóak, mert megfelelő oldalaik párhuzamosak.
 

 

3. ábra
 

Hasonlóságuk aránya PC1:FC2=s:p. Hasonlók a PET1, valamint FET2 háromszögek is, hasonlóságuk aránya PT1:FT2=s:p, azaz EP:FE=s:p, ahonnan
FPFE=FE+EPFE=1+EPFE=1+sp.
Így a P pontot az E pontból F középpontú, (1+sp) arányú nagyítással kapjuk. Ez azt jelenti, hogy a keresett tulajdonságú P pontok rajta vannak az eredeti parabola F középpontú,(1+sp) arányú nagyítottján.
Megmutatjuk, hogy ennek a parabolának összes pontja rendelkezik azzal a tulajdonsággal, hogy egy alkalmas parabolának fókusza.
Legyen ugyanis P a nyújtott parabola egy pontja. Mivel P az eredeti parabola egy E pontjának képe, azért FP:FE=1+sp és F, E, P ilyen sorrendben vannak az egyenesen, tehát EP:EF=s:p.
Legyen továbbá E merőleges vetülete d-re T2, F merőleges vetülete C2 és tükrözzük E-re az FC2T2 háromszöget, majd nyújtsuk meg s/p-szeresére. Az F pont ekkor a P pontba fog átmenni, a T2, illetve C2 pontok pedig T1, illetve C1 pontokba. T1C1 párhuzamos lesz T2C2-vel, hiszen a tükrözés és hasonlóság párhuzamosságtartó, továbbá EP=ET1, hiszen ez az egyenlő szárú FET2 háromszög tükrözöttje, illetve nagyítottja. PC1=spFC2=spp=s, vagyis az E pont rajta van a P fókuszú, T1C1 vezéregyenesű parabolán, és P, valamint T1C1 távolsága éppen s. Másrészt F, E, P, valamint T2, E, T1 egy egyenesre esnek, azért mind a két parabolához az E pontban húzott érintő ugyanaz, az FET2 szög vagy a PET1 szög szögfelezője.
Így beláttuk, hogy a feladatbeli mértani hely ‐ abban az esetben, ha T1T2 szakasznak az E pont belső pontja ‐ a megadott parabolának F középpontú, 1+s/p arányú nagyítottja.
II. Ez az eset hasonló az előzőhöz, azért itt csak utalunk az egyes lépésekre (4. ábra).
 

 

4. ábra
 

Az F, valamint P pontok az e egyenesnek ugyanarra a partjára esnek, így irányított szakaszokat nézve FP=FE-PE. A PT1C1, valamint az FT2C2 háromszögek, majd a PET1 és FET2 háromszögek hasonlóságából PE:FE=s:p, ahonnan
FPFE=FE-PEFE=1-sp
pozitív arány esetén, ez egy F középpontú, adott arányú hasonlósági transzformációt jelent, ha negatív, akkor még egy F pontra vonatkozó tükrözést is. Amennyiben az arány nulla, úgy azt kapjuk, hogy a két parabola fókusza, vezéregyenese egybeesik, tehát a két parabola is egybeesik, ekkor viszont nem érintik egymást.
Így a második esetben a mértani hely sp esetén az adott parabola F középpontú, (1-sp) arányú nagyítottja. Most is az előzőekhez hasonlóan meg lehet mutatni, hogy ennek a megnyújtott parabolának minden pontja eleme a mértani helynek. s=p esetben pedig megfelelő pont nincs.
Összefoglalva: ha sp, akkor a keresett mértani hely a megadott parabola F középpontú, 1+s/p, illetve 1-s/p arányú nagyítottjainak uniója. Ha s=p, akkor az eredeti parabola F középpontú, 2-szeres nagyítottja.
 

  Kovács István (Budapest, I. István Gimn., IV. o. t.)
 

 

5. ábra
 

Az 5. ábra az s=1/3 értékhez tartozó parabolapárt tünteti fel (vastagon rajzolva), továbbá az első parabolán a -1/5 abszcisszájú P1, a másodikon az 1/2 abszcisszájú P2 ponthoz tartozó kívánt v(P1), v(P2) vezéregyenest, végül az ezekből kapott, az y=x2 parabolát érintő parabolákat (vékonyan rajzolva).