|
Feladat: |
F.1795 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Kovács István |
Füzet: |
1974/november,
109 - 114. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Alakzatok hasonlósága, Forgatva nyújtás, Parabola egyenlete, Kúpszeletek érintői, Mértani helyek, Parabola, mint kúpszelet, Parabola, mint mértani hely, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1971/november: F.1795 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. A feladatot koordináta-geometriai módszerrel oldjuk meg. A koordináta-rendszert úgy választjuk meg, hogy az adott parabola egyenlete legyen. Ekkor a parabola vezéregyenesének egyenlete . Egy fókuszú, -vel párhuzamos vezéregyenesű parabola egyenlete, amennyiben a vezéregyenes és fókusz távolsága , vagy vagy pedig aszerint, hogy a parabola fókusza a vezéregyenes ,,felett'' vagy ,,alatt'' helyezkedik el (1. ábra).
1. ábra Vizsgáljuk meg, hogy mely pontok esetén fogja az (1) parabola érinteni az parabolát. Két görbe akkor érinti egymást, ha van közös pontjuk, és a két görbéhez abban a pontban húzott érintők egybeesnek (2. ábra).
2. ábra Ha a két parabola érinti egymást az abszcisszájú pontban, akkor az abban a pontban húzott érintők iránytangenseinek meg kell egyeznie. És fordítva: ha ezek megegyeznek, akkor a két görbe érinti egymást. Az görbéhez az abszcisszájú pontban húzott érintő iránytangense ; az (1) görbéhez húzott érintő iránytangense . Ennek a két értéknek kell megegyeznie:
Ha már most , akkor ebből , azaz csak az ilyen abszcisszájú pontban érintheti egymást a két parabola. Ha viszont az pontban a paraboláknak közös pontja van, akkor ott érintik is egymást. Tehát esetén a két parabola csak akkor érinti egymást, ha | | azaz ha és között a összefüggés áll fenn. Ha viszont , akkor (3) csak úgy állhat fenn, ha , ekkor viszont az (1) parabolaegyenlet alakú lesz. Így esetén az (1) parabola, valamint az parabola mellett nem érinti egymást, mellet pedig azonosak; innen nem kapunk megoldást. Hasonlóan azt vizsgálva, hogy a (2) parabola és az parabola mikor érinti egymást, a -ból az abszcisszájú pontban lehet csak érintés, és ez miatt mindig értelmes. Így a (2) parabola és az parabola csak akkor érinti egymást, ha | | vagyis ha Összefoglalva, a ponthoz akkor és csak akkor találunk a feladatban előírt tulajdonságú parabolát, ha (5) teljesül, vagy ha és (4) teljesül. Így a keresett mértani hely esetén az és az egyenletek valamelyikét kielégítő pontok (két parabola), míg esetén csak az egyenletet kielégítő pontok (egy parabola). Megvizsgáljuk, hogyan származnak a kapott parabolák az parabolából és az adott szakaszból. Az adott parabola csúcsa a pont, fókusza , vezéregyenese ‐ mint már mondtuk ‐ az egyenes; a (4) parabola csúcsa ‐ ahol ‐, paraméternek fele Mármost, ha , akkor (4) fókuszának ordinátája: , vagyis e fókusz azonos -fel; vezéregyenese pedig az egyenes, a kiindulási parabola vezéregyenesének eltoltja -sel (fölfelé). Mivel ekkor még , azért a föltolt vezéregyenes még alatta van -nek, fölfelé nyílik a parabola. Ha viszont , azaz , akkor (4) csúcsa az fölött van (egyszersmind együtthatója negatív), a parabola lefelé nyílik, fókusza lejjebb van, mint a csúcs. E fókusz ordinátája | | tehát ekkor is azonos -fel, vezéregyenese , ekkor is -sel van föltolva. (De ekkor túl van tolva az -en.) A kizárt eset pedig azt jelentené, hogy az parabola vezéregyenesét rátolnánk a fókuszára; emiatt nem keletkezik ilyenkor mértani helye az (1) alakból. Hasonlóan látható ‐ de egyszerűbben ‐, hogy (5) csúcsa minden pozitív -re a pont, fókusza , vezéregyenese , vagyis lefelé van eltolva -sel.
II. megoldás. A feladatot koordináta-rendszer alkalmazása nélkül is megoldjuk. A megoldásban felhasználjuk azt a tényt, hogy a parabola érintője felezi az érintési pontot a fókusszal összekötő egyenes, valamint az érintési pontból a vezéregyenesre emelt merőleges szögét. Legyen az adott parabola fókusza , a fókusz és a vezéregyenes közti távolság . Tegyük fel, hogy a fókuszú, vezéregyenesű parabola a megadott parabolát az pontban érinti, azaz a két parabolához pontban közös, érintő húzható. Mivel a feltétel szerint és párhuzamos, ezért az pontból -re, illetve -re bocsátott merőlegesek , illetve talppontjai és az pont egy egyenesen vannak. Két esetet különböztetünk meg aszerint, hogy a szakasz belsejében tartalmazza az pontot vagy sem. I. Ha a szakasz belső pontja, akkor és az egyenes különböző oldalára esik, azaz . A és az háromszögek (lásd a 3. ábrát) hasonlóak, mert megfelelő oldalaik párhuzamosak.
3. ábra Hasonlóságuk aránya . Hasonlók a , valamint háromszögek is, hasonlóságuk aránya , azaz , ahonnan | | Így a pontot az pontból középpontú, arányú nagyítással kapjuk. Ez azt jelenti, hogy a keresett tulajdonságú pontok rajta vannak az eredeti parabola középpontú arányú nagyítottján. Megmutatjuk, hogy ennek a parabolának összes pontja rendelkezik azzal a tulajdonsággal, hogy egy alkalmas parabolának fókusza. Legyen ugyanis a nyújtott parabola egy pontja. Mivel az eredeti parabola egy pontjának képe, azért és , , ilyen sorrendben vannak az egyenesen, tehát . Legyen továbbá merőleges vetülete -re , merőleges vetülete és tükrözzük -re az háromszöget, majd nyújtsuk meg -szeresére. Az pont ekkor a pontba fog átmenni, a , illetve pontok pedig , illetve pontokba. párhuzamos lesz -vel, hiszen a tükrözés és hasonlóság párhuzamosságtartó, továbbá , hiszen ez az egyenlő szárú háromszög tükrözöttje, illetve nagyítottja. , vagyis az pont rajta van a fókuszú, vezéregyenesű parabolán, és , valamint távolsága éppen . Másrészt , , , valamint , , egy egyenesre esnek, azért mind a két parabolához az pontban húzott érintő ugyanaz, az szög vagy a szög szögfelezője. Így beláttuk, hogy a feladatbeli mértani hely ‐ abban az esetben, ha szakasznak az pont belső pontja ‐ a megadott parabolának középpontú, arányú nagyítottja. II. Ez az eset hasonló az előzőhöz, azért itt csak utalunk az egyes lépésekre (4. ábra).
4. ábra Az , valamint pontok az egyenesnek ugyanarra a partjára esnek, így irányított szakaszokat nézve . A , valamint az háromszögek, majd a és háromszögek hasonlóságából , ahonnan pozitív arány esetén, ez egy középpontú, adott arányú hasonlósági transzformációt jelent, ha negatív, akkor még egy pontra vonatkozó tükrözést is. Amennyiben az arány nulla, úgy azt kapjuk, hogy a két parabola fókusza, vezéregyenese egybeesik, tehát a két parabola is egybeesik, ekkor viszont nem érintik egymást. Így a második esetben a mértani hely esetén az adott parabola középpontú, arányú nagyítottja. Most is az előzőekhez hasonlóan meg lehet mutatni, hogy ennek a megnyújtott parabolának minden pontja eleme a mértani helynek. esetben pedig megfelelő pont nincs. Összefoglalva: ha , akkor a keresett mértani hely a megadott parabola középpontú, , illetve arányú nagyítottjainak uniója. Ha , akkor az eredeti parabola középpontú, -szeres nagyítottja. Kovács István (Budapest, I. István Gimn., IV. o. t.)
5. ábra Az 5. ábra az értékhez tartozó parabolapárt tünteti fel (vastagon rajzolva), továbbá az első parabolán a abszcisszájú , a másodikon az abszcisszájú ponthoz tartozó kívánt , vezéregyenest, végül az ezekből kapott, az parabolát érintő parabolákat (vékonyan rajzolva). |
|