Feladat: F.1786 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Kovács István 
Füzet: 1972/április, 152 - 153. oldal  PDF file
Témakör(ök): Határozott integrál, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1971/október: F.1786

Igazoljuk, hogy bármely n természetes szám mellett érvényes a következő egyenlőtlenség:
2nn!(3n)!2n<n3n1xdx.(1)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A gyökjel alatt a számlálóval egyszerűsítve, a nevezőben az (n+1), (n+2), ..., 3n tényezők maradnak vissza. Mondhatjuk, hogy a gyökjel alatt e számok reciprokának szorzata áll. A tényezők száma 2n, egyezik a gyökkitevővel, tehát a gyök az 1/(n+1),1/(n+2),...,1/(3n) számok mértani közepét adja, az állítás bal oldala pedig a mértani közép (2n)-szerese.

 

 

Ugyancsak az 1/(n+1),...,1/(3n) számok adják az 1/x integrandusz értékeit az x=n+1,n+2,...,3n helyeken. Az
s=1n+1+1n+2+...+13n
összeg egyenlő annak a g(x) (lépcsős) függvénynek az (n,3n) intervallumban vett integráljával, amely minden j természetes számra a balról zárt (j,j+1) intervallumban állandó és 1j+1-gyel egyenlő. Minden j<x<j+1 mellett 1x>1j+1, tehát a g(x) függvény integrálja kisebb, mint az 1x integrálja:
s=n3ng(x)dx<n3ndxx.(2)
(Ábránk n=2 esetére szemlélteti a mondottakat.) Mondhatjuk tehát, hogy (2) bal oldala a mondott függvényértékek számtani közepének és a tagok számának, 2n-nek a szorzata.
E két észrevételből már következik a feladat állítása a különböző pozitív számok számtani és mértani közepe közti ismert nagyságviszony alapján:
n3ndxx>2n1n+1+1n+2+...+13n2n>>2n1n+11n+2...13n2n=2nn!(3n)!2n


Egyenlőség egyik helyen sem állhat a ,,>'' jel helyett.
 

Kovács István (Budapest, I. István Gimn., IV. o. t.)
 

Megjegyzés. Néhányan az n!-ra ismert 2πn(n/e)n közelítő érték (Stirling-formula) alapján próbálták bizonyítani az állítást. Ez körültekintés hiányát mutatja. Nem gondoltak arra, vajon alsó vagy felső közelítő értéket használnak-e fel, tehát fennmarad-e a helyettesítés után az állításbeli egyenlőtlenség.