Kezdőlap


Feladat:	F.1786	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kovács István
Füzet:	1972/április, 152 - 153. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Határozott integrál, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1971/október: F.1786

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A gyökjel alatt a számlálóval egyszerűsítve, a nevezőben az $(n + 1)$ , $(n + 2)$ , $...$ , $3 n$ tényezők maradnak vissza. Mondhatjuk, hogy a gyökjel alatt e számok reciprokának szorzata áll. A tényezők száma $2 n$ , egyezik a gyökkitevővel, tehát a gyök az $1 / (n + 1),1 / (n + 2), ...,1 / (3 n)$ számok mértani közepét adja, az állítás bal oldala pedig a mértani közép $(2 n)$ -szerese.

Ugyancsak az

1 / (n + 1), ...,1 / (3 n)

számok adják az

1 / x

integrandusz értékeit az

x = n + 1, n + 2, ...,3 n

helyeken. Az

\begin{matrix} s = \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + ... + \frac{1}{3 n} \end{matrix}

összeg egyenlő annak a

g (x)

(lépcsős) függvénynek az

(n,3 n)

intervallumban vett integráljával, amely minden

j

természetes számra a balról zárt

(j, j + 1)

intervallumban állandó és

\frac{1}{j + 1}

-gyel egyenlő. Minden

j < x < j + 1

mellett

\frac{1}{x} > \frac{1}{j + 1}

, tehát a

g (x)

függvény integrálja kisebb, mint az

\frac{1}{x}

integrálja:

\begin{matrix} s = \int_{n}^{3 n} g (x) d x < \int_{n}^{3 n} \frac{d x}{x} . \end{matrix}

(2)

(Ábránk

n = 2

esetére szemlélteti a mondottakat.) Mondhatjuk tehát, hogy (2) bal oldala a mondott függvényértékek számtani közepének és a tagok számának,

2 n

-nek a szorzata.
E két észrevételből már következik a feladat állítása a különböző pozitív számok számtani és mértani közepe közti ismert nagyságviszony alapján:

\begin{matrix} \int_{n}^{3 n} \frac{d x}{x} > 2 n \cdot \frac{\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + ... + \frac{1}{3 n}}{2 n} > \\ > 2 n \cdot \sqrt[2 n]{\frac{1}{n + 1} \cdot \frac{1}{n + 2} \cdot ... \cdot \frac{1}{3 n}} = 2 n \sqrt[2 n]{\frac{n!}{(3 n)!}} \end{matrix}

Egyenlőség egyik helyen sem állhat a ,,>'' jel helyett.

Kovács István (Budapest, I. István Gimn., IV. o. t.)

Megjegyzés. Néhányan az

n!

-ra ismert

\sqrt[]{2 π n} {(n / e)}^{n}

közelítő érték (Stirling-formula) alapján próbálták bizonyítani az állítást. Ez körültekintés hiányát mutatja. Nem gondoltak arra, vajon alsó vagy felső közelítő értéket használnak-e fel, tehát fennmarad-e a helyettesítés után az állításbeli egyenlőtlenség.