Feladat: F.1784 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Hegyi Ferenc ,  Heimler László 
Füzet: 1972/április, 151 - 152. oldal  PDF file
Témakör(ök): Kör egyenlete, Kúpszeletek érintői, Térfogat, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1971/szeptember: F.1784

Az x2+y2=1 egyenletű körhöz valamely pontjában érintőt húzunk. Az érintő, az x tengely és a kör által határolt síkidomot az x tengely körül megforgatjuk. Hol van az érintési pont, ha a forgástest térfogata egyenlő az egységgömb térfogatával?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az adott k körből és az x forgatási tengelyből álló alakzat szimmetrikus az y tengelyre, ezért a kívánt tulajdonságú P(ξ,η) érintési pontot elég a kör jobb oldali felén keresni. Sőt elég keresni e félkör felső negyedívén levő P és alsó negyedívén levő P' megfelelő pont közös abszcisszáját, hiszen P'-t úgyis átviszi P-be az a forgatás, amely a kívánt testet előállítja. Így 0<ξ<1 és 0<|η|<1, egyenlőség sehol sem állhat a ,,<'' jel helyett, mert az A(1; 0) és a (0; 1) pontok nyilvánvalóan nem felelnek meg P-ként. Az I. síknegyedben megtalált P-ből azután a két koordináta‐tengelyre és az origóra való tükrözéssel kaphatjuk meg k további 3 megfelelő pontját. (Nyilvánvaló, hogy az I. negyedben csak egy megfelelő pont van, mert ξ-t 1-től csökkentve P és az érintőnek az x tengelyen levő M metszéspontja egyaránt távolodnak A-tól, a kérdéses térfogat monoton nő és átlépi az egységgömb térfogatát.)

 

 

A kérdéses F forgástestet a PM, MA szakaszokkal és az AP körívvel határolt síkidom írja le. P-nek az x-en levő vetületét P1-gyel jelölve F-et úgy is származtathatjuk, hogy az MPP1 derékszögű háromszög által leírt K kúpból eltávolítjuk a k által leírt G gömbnek azt a kisebbik S szeletét, melynek alapköre azonos a kúp alapkörével.
M abszcisszája az OPM derékszögű háromszögből
OM=OP2OP1=1ξ,
így a kúp magassága OM-OP1=(1-ξ2)/ξ, alapkörének területe πη2=π(1-ξ2). A gömbszelet térfogatának kifejezéséhez az ismert képletek* közül azt használjuk fel, amelyben az m=1-ξ magasság mellett a gömb sugara szerepel. ‐ A követelmény szerint K és S térfogatának különbsége egyenlő G térfogatával:
π(1-ξ2)31-ξ2ξ-π3(1-ξ)2{3-(1-ξ)}=4π3,
amiből rendezéssel
ξ2-6ξ+1=0.

Látjuk az egyenlet egymás utáni +1, -6, +1 együtthatóiból, hogy a gyökök valósak, pozitívok és egymás reciprokai.
Feladatunknak csak az a gyök adja megoldását, melyre 0<ξ<1, tehát ξ=3-8. (A másik gyök viszont: ξ2=3+8, az M helyzetét adja meg). Tehát az adott kör pontjai közül azok felelnek meg az előírásnak, amelyek abszcisszájának abszolút értéke 3-8=0,1716.
 

Hegyi Ferenc (Székesfehérvár, Teleki Blanka Gimn., IV. o. t.)

Heimler László (Sopron, Széchenyi I. Gimn., III. o. t.)
 

Megjegyzés. Nem vezet érdemleges munkát igénylő problémára a feladat szövegének az az értelmezése, hogy a megforgatott idomot az ábra PB íve, valamint BM és MP szakaszai határolják, hiszen az így adódó test magába zárja az egységgömböt. Egyenlőség csak PA esetén adódnék, ennek meglátása, kimondása viszont nem tekinthető feladatnak.

*Lásd pl.: Hack F.‐Kugler S.-né: Függvénytáblázatok. Matematikai és fizikai összefüggések. Tankönyvkiadó. Budapest. 1968. 344. 2 képletek: v=(π/3)m2 (3r-m).