Feladat: F.1770 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Füzet: 1971/október, 56 - 58. oldal  PDF file
Témakör(ök): Súlypont, Parabola egyenlete, Kúpszeletek érintői, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1971/április: F.1770

A, B, C egy parabolának három különböző pontja. Mi a feltétele annak, hogy a parabolának e pontokban megrajzolt normálisai (vagyis mindegyik pontban az ottani érintőre állított merőleges) egy ponton menjenek át?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Bármely két parabola hasonló egymáshoz, ezért elég az y=x2 egyenletű p parabolát tekintenünk. Legyen A, B, C abszcisszája rendre a, b, c, ekkor ordinátáik a2, b2 ill. c2 és (a-b)(b-c)(c-a)0 elegendő feltétele annak, hogy A, B és C különböző pontok legyenek, mert p-nek minden, a tengelyével párhuzamos egyenesen pontosan egy pontja van.
p tetszőleges (x1,x12) pontjában az érintő iránytangense az (x2)'=2x derivált értéke e helyen, azaz 2x1, a normálisé pedig ‐ 1/(2x1), (hacsak x10), így a normális egyenlete az egy előírt ponton átmenő, előírt irányú egyenes egyenlettípusa alapján

y-x12=-12x1(x-x1),rendezvex+2x1y-2x13-x1=0.(1)

Ha pedig x1=0, vagyis a pont éppen a p csúcsa, akkor a normális az y tengely, egyenlete x=0, az átrendezett (1) alak már ezt is tartalmazza. p-nek bármely két különböző pontjához tartozó normálisa metszi egymást egyetlen pontban, mert iránytangenseik különbözők.
 

 

Annak feltételét keressük, hogy a kérdéses 3 normális, nA, nB, nC közül az első kettőnek a metszéspontja egybeessék az első és a harmadik metszéspontjával. (1)-ben x1 helyére rendre a-t, ill. b-t írva
nAegyenletex+2ay-2a3-a=0,nBegyenletex+2by-2b3-b=0,


innen M metszéspontjuk koordinátái, figyelembe véve, hogy ba,
yM=a2+ab+b2+12,xM=-2ab(a+b).

Ebből nA és nC-nek M' metszéspontja koordinátáit úgy kapjuk, hogy b helyére c-t írunk:
yM'=a2+ac+c2+12,xM'=-2ac(a+c).

A 3 normális akkor megy át egy ponton, ha M' azonos M-mel, hiszen ekkor ez a pont rajta van nB-n is, nC-n is, tehát egyben nB és nC metszéspontja.
M' akkor és csakis akkor esik egybe M-mel, ha teljesül yM'=yM, hiszen egyetlen normális sem párhuzamos az x tengellyel, bármelyik normálison az ordináta egyértelműen meghatározza az abszcisszát, tehát a mondott feltétel maga után vonja xM', és xM egyenlőségét is. Mármost yM=yM', ha yM-yM'=a(b-c)+b2-c2=(b-c)(a+b+c)=0, és ez, mivel (b-c)0, akkor és csak akkor teljesül, ha
a+b+c=0.(2)

Ez, mint ismeretes, azt jelenti, hogy az ABC háromszög S súlypontja rajta legyen az x=0 egyenesen, az y tengelyen, ill. a koordináta-rendszertől elvonatkoztatva, hogy S a p szimmetriatengelyén legyen.
 

Megjegyzés. Miután felírtuk a normálisok egyenletét, megoldásunkat így is folytathatjuk: Annak a feltételét keressük, hogy az
x+2ay-2a3-a=0x+2by-2b3-b=0x+2cy-2c3-c=0
egyenletű egyeneseknek legyen közös pontja, vagyis legyen olyan (x0,y0) számpár, melyre az
x0+2zy0-2z3-z=0(3)
harmadfokú egyenletnek az a, b, c (különböző ) számok a gyökei. A gyökök és együtthatók közti összefüggések1 szerint az
Az3+Bz2+Cz+D=0
harmadfokú egyenlet (melyben A0) gyökeinek összege -BA, így a, b, c csak akkor lehet (3) gyöke, ha
a+b+c=0,
hiszen (3)-ban z2 nem szerepel. Ez a feltétel tehát szükséges ahhoz, hogy a három normális egy ponton menjen át.
Megmutatjuk, hogy a kapott feltétel elégséges is. Valóban, a gyökök és együtthatók összefüggése szerint a, b, c akkor és csakis akkor gyöke a
2z3+Bz2+Cz+D=0
egyenletnek, ha
B=2(a+b+c),C=-2(ab+bc+ca),D=2abc.
Így, ha a+b+c=0, akkor
x0=D=2abc,y0=C+12=12-(ab+bc+ca)
mellett a, b, c gyöke a (3) egyenletnek, vagyis a három normális átmegy az (x0,y0) ponton.
1Lásd pl. Hack Frigyes ‐ Kugler Sándorné: Függvénytáblázatok. Matematikai és fizikai összefüggések. Tankönyvkiadó, Budapest, 1968. 66. old. 25.33. képletcsoport.