Feladat: F.1730 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Ablonczy Péter ,  Bacsó Gábor ,  Balogh Zoltán ,  Boros Endre ,  Füredi Zoltán ,  Füvessy Lajos ,  Földes Tamás ,  Földváry Cs. ,  Garay Barnabás ,  Gáspár Gyula ,  Geréb M. ,  Gergely István ,  Hannák L. ,  Hollósy Gábor ,  Katona Endre ,  Koppány István ,  Lakatos Béla ,  Láng István ,  Papp Gábor ,  Pataki B. ,  Reviczky János ,  Smohay F. ,  Szendrei Ágnes ,  Szepesi L. ,  Varsányi I. ,  Vértesy Gyula 
Füzet: 1974/április, 147 - 151. oldal  PDF file
Témakör(ök): Síkra vonatkozó tükrözés, Forgatva nyújtás, Kombinatorikus geometria térben, Hossz, kerület, Négyzetek, Térgeometriai bizonyítások, Gömb és részei, Helyvektorok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1970/szeptember: F.1730

Egy négyzet oldala 10 egység. Egymás utáni csúcsai köré gömböt írunk 1, 2, 4, 3 egységnyi sugárral. Hány olyan sík van, amely 3-at érint e gömbök közül? Hány olyan sík van közülük, amely a negyedik gömböt metszi?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tartsuk vízszintesen a P1P2P3P4 négyzet S0 síkját, jelöljük Gi-vel a Pi körüli, i egységnyi sugarú gömböt (i=1,2,3,4). Az S0 egy tetszőleges P pontjának egy S síktól mért előjeles távolságán magát a PQ szakaszt értjük, ahol Q a P vetülete S-en ‐, ha Q az S0 fölött van, ha pedig Q az S0 alatt van, akkor negatívnak tekintjük PQ-t. Jelöljük négyzetünk középpontját P0-lal, Pi-nek S-től mért előjeles távolságát di(S)-sel, a PiQi egyenest ei-vel (i= =0,1,2,3,4). Bebizonyítjuk, hogy

d1(S)+d4(S)=d2(S)+d3(S),(1)
annak belátásával, hogy mindkét oldal 2d0(S)-sel egyenlő.
 

 

1. ábra
 

Az e1, e4 és e0 egyenesek párhuzamosak és metszik a P1P4 egyenest, egy síkban vannak és Q0 nyilvánvalóan felezi a Q1Q4-et (1. ábra), emiatt
P0Q0=P1Q1+12(Q1Q4-P1P4)=12(P1Q1+Q1Q4+P4P1)+12P1Q1=12P4Q4+12P1Q1,
vagyis
P1Q1+P4Q4=2P0Q0.


Innen
 

MMMMMMMMMd1(S)+d4(S)=2d0(S),MMMMMMés ugyanígyd2(S)+d3(S)=2d0(S).
 

Mivel Pi-nek S-től mért távolsága |di(S)|, azért S akkor és csakis akkor érinti Gi-t, ha
|di(S)|=i,(2)
míg ha ehelyett
|di(S)|<i,(3)
akkor S metszi Gi-t, ha pedig
|di(S)|>i,(4)
akkor S-nek nincs közös pontja Gi-vel, kívül halad rajta.
Ha mármost S érinti ‐ mondjuk ‐ a G1, G2, G3 gömböket, akkor d1, d2, d3 abszolút értéke rendre 1, 2, 3 előjeleik megválasztására pedig 222=8 lehetőségünk van. Persze négy gömb közül hármat még 3-féleképpen választhatunk, az így szóba jövő eseteket táblázatunkban mutatjuk be. Ebben csillag áll annak a di-nek a helyén, amelyik nem szerepel a választott és előjellel ellátott három között, a megfelelő gömbközéppontnak a másik háromhoz tartozó érintősíktól mért távolságát (1) alapján a d-vel jelölt oszlopban adtuk meg, és ennek, valamint (2)‐(4)-nek alapján azt is eldöntöttük, milyen a negyedik gömbnek és a választott három gömböt érintő síknak a kölcsönös helyzete.

d1    d2 d3 d4   d1  2  3  *    4érint  1  2  -3*    -2     metsz  1  -23*    0  metsz  1  -2-3*    -6nem metsz1  2  *4    3érint  12*-4    -5nem metsz  1-2*4    -7nem metsz  1  -2*-4    -1metsz1*34    2érint  1  *3-4    -6nem metsz  1  *-34    8nem metsz  1  *-3-4    0metsz*234    1érint  *23-4    9nem metsz  *2-34    -5nem metsz  *2-3-4    3nem metsz
 

A táblázat 16 esetéből a hátralevő 16 esetet úgy kapjuk, hogy a megválasztott, illetve kiszámított számok mindegyikét (-1)-gyel megszorozzuk (ezzel tulajdonképpen tükrözzük a mindenkori S-et S0-ra).
Négyszer kaptuk azt, hogy a negyedik gömb érinti a szóban forgó síkot, vagyis a sík mind a négy gömböt érinti, ez azonban egyetlen esetet jelent, azt, amikor az előjeles távolságok értéke rendre (1, 2, 3, 4); így a táblázat 13 esetet jelent, összesen tehát 213=26, a feladatban kívánt tulajdonságú érintő sík lehet, ezek közül 24=8 metszi a negyedik gömböt, 2 pedig érinti a negyediket is.
Be kell még látnunk, hogy a táblázatban feltüntetett esetek mindegyikének pontosan egy sík felel meg. Ez könnyen következik az alábbi állításból.
Legyen A és B az S0 sík tetszőleges pontja, és írjunk A körül a sugárral, B körül b sugárral egy‐egy gömböt, jelöljük ezeket GA-val és GB-vel, az S0 alkotott metszésvonalukat kA-val és kB-vel. Tegyük fel, hogy kA és kB közül egyik sincs a másik belsejében, és nincs közös pontjuk. Rajzoljuk meg S0-ban kA és kB közös külső érintő egyeneseit, és jelöljük ezek metszéspontját M-mel, az általuk határolt szögtartományt, és annak M-re vonatkozó tükörképét K-val (2. ábra).
 

 

2. ábra
 

Legyen C az S0 síknak olyan pontja, hogy a C köré c sugárral írt GC gömbnek S0-on levő kc, köre teljes egészében K-n kívül van. Akkor van olyan S+, illetve S--sík, amelynek az A, B, C pontoktól mért előjeles távolsága rendre (a,b,c), illetve (a,b,-c).
Ehhez felsorolunk néhány állítást sík és az iméntiek szerinti kölcsönös helyzetű gömbök érintkezéséről, bizonyításukat azonban részben az olvasóra hagyjuk.
Ha egy S sík két gömböt érint, akkor az érintési ponthoz tartozó sugarak párhuzamosak egymással, hiszen mindkettő merőleges az érintősíkra. S-et közös belső érintősíknak mondjuk, ha szétválasztja a két gömbközéppontot; és közös külső érintősíknak, ha nem választja szét őket, e két esetben a mondott sugarak ‐ mint a gömbközéppontból induló félegyenesek ‐ rendre ellentétes, illetve megegyező irányúak.
Az Oi, Oj középpontú, különböző ri, rj sugarú (rj>ri) Gi, Gj gömbök két különböző centrumra vonatkozóan hasonló helyzetűek egymáshoz. Egymásnak páronként megfelelő pontjaik a párhuzamos és egyirányú sugaraik Ei, Ej végpontjai, illetve a párhuzamos és ellentétes irányú sugaraik Fi, Lj végpontjai. Az ilyen végpontpárokat összekötő EiEj, illetve FiLj egyenesek valamennyien átmennek az OiOj egyenes egy‐egy állandó (Ei, ill. Fi megválasztásától független) pontján, ez a gömbjeink Kij külső, ill. Bij belső hasonlósági centruma. Ezek távolsága a két gömbközépponttól a KijOiEi és KijOjEj, illetőleg a BijOiFi és BijOjLj hasonló háromszögekből
KijOv=OiOjrj+rirv,BijOv=OiOjrj-rirv,
ahol v=i, j (az indexek valamelyike). Bij az OiOj szakaszon van, Kij pedig ennek Oi-n túli meghosszabbításán, és Bij is, Kij is kívül van Gi, Gj mindegyikén.
E két gömb bármely közös érintősíkja vagy Kij-n vagy Bij-n átmegy és ennek megfelelően rendre külső, ill. belső közös érintősíkról van szó. ‐ Fordítva, ha egy sík átmegy valamelyik hasonlósági centrumon és érinti a gömbök egyikét, akkor érinti a másik gömböt is. (Mindkét típusú érintősíkból végtelen sok van, ezek egyben egy‐egy forgási kúpfelület érintősíkjai, melynek csúcsa Kij, ill. Bij és tengelye az OiOj egyenes.)
 

Most rátérünk a GA, GB, GC gömbökre vonatkozó állításunk bizonyítására. Jelöljük kA és kB egyik közös külső érintőjét e-vel, az ezen átmenő, S0-ra merőleges síkot S-sel, GA és GC közös belső hasonlósági centrumát Hb-vel, a külsőt Hk-val. Belátható, hogy ha kc a K-n kívül van, akkor Hb is, Hk is K-n kívül van (ennek bizonyítását az olvasóra hagyjuk). Forgassuk el S-et az AB egyenes körül úgy, hogy menjen át Hk-n, jelöljük a kapott síkot Sk-val, és forgassuk el úgy is, hogy menjen át Hb-n ‐ ezt a helyzetet jelöljük Sb-sel. (Mivel Hb és Hk a K-n kívül van, az Sk, Sb síkok valóban léteznek.) Az Sk sík érinti GA-t és átmegy Hk-n, így Gc-t is érinti, és nem választja el egymástól sem GA-t és GB-t, sem GA-t és GC-t, vagyis a GA, GB, GC gömbök Sk-nak ugyanazon az oldalán vannak. Emiatt az érintési pontokhoz tartozó sugarak S0-nak ugyanazon az oldalán vannak, tehát S-nek az A, B, C pontoktól mért előjeles távolságai ugyanolyan előjelűek: vagy mind a három pozitív, vagy mind negatív. Ha mind pozitív, akkor készen vagyunk, ha mind negatív, akkor Sk-nak S0-ra vonatkozó tükörképe a keresett S+ sík. Mivel az a sík, amelyiknek A-tól B-től, C-től mért előjeles távolsága rendre a, b, c, érinti GA-t, GB-t és GC-t, és ezeket a gömböket nem választja el egymástól, ez a sík csak Sk, vagy annak az S0-ra vonatkozó tükörképe lehet.
Hasonlóan láthatjuk be, hogy az (a,b,-c) előjeles távolságokhoz tartozó S- sík csak Sb vagy annak S0-ra vonatkozó tükörképe lehet, és hogy e két sík egyikéhez valóban ezek az előjeles távolságok tartoznak.
A feladat megoldását ezzel befejeztük.
 

Megjegyzés. Több versenyző alapította megoldását a következő síkmértani tételre: ha tekintjük három kör páronként vett belső és külső hasonlósági pontjait, ez a 6 pont hármasával egy‐egy egyenesre ‐ a körök hasonlósági tengelyeire ‐ illeszkedik; 4 ilyen tengely van, egyikükön a 3 külső hasonlósági pont van rajta, a többi háromon két körpár belső és egy körpár külső hasonlósági pontja. A hasonlóság azok közt a gömbök közt is fennáll, amelyeknek az előbbi körök főkörei, és a mondott 4 tengely mindegyikén át 2‐2 közös érintő síkja megy át a 3 gömbnek, ezek egymás tükörképei a 3 gömbközéppont által meghatározott síkra és más közös érintősíkjuk nincs ‐ hacsak a hasonlósági pontok mind kívül esnek a főkörökön (gömbökön), és ha a 3 gömbközéppont nem esik egy egyenesbe.
 

 

3. ábra
 

Ezeket a tengelyeket tünteti fel a 3. ábra az adott 4 gömb esetére. A centrumok helyzetét megadó fenti képletek szerint a 4 gömbből képezhető 6 párnak a K12, ..., K34 külső hasonlósági pontjai egy egyenesen vannak, ezen megy át a 4 gömb közös külső érintősíkja, ebben a hármasával vett tengelyek közül 4-esik egybe, másutt nincs tengelyek egybeesése. (Szemléletesen azt jelenti a közös érintősík létezése, hogy a 4 gömböt az előírt helyzetben egymáshoz rögzítve, a rendszer letehető síklapra úgy, hogy mind a 4 gömb támaszkodik a síkra.)