Kezdőlap


Feladat:	F.1730	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Ablonczy Péter , Bacsó Gábor , Balogh Zoltán , Boros Endre , Füredi Zoltán , Füvessy Lajos , Földes Tamás , Földváry Cs. , Garay Barnabás , Gáspár Gyula , Geréb M. , Gergely István , Hannák L. , Hollósy Gábor , Katona Endre , Koppány István , Lakatos Béla , Láng István , Papp Gábor , Pataki B. , Reviczky János , Smohay F. , Szendrei Ágnes , Szepesi L. , Varsányi I. , Vértesy Gyula
Füzet:	1974/április, 147 - 151. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkra vonatkozó tükrözés, Forgatva nyújtás, Kombinatorikus geometria térben, Hossz, kerület, Négyzetek, Térgeometriai bizonyítások, Gömb és részei, Helyvektorok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1970/szeptember: F.1730

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tartsuk vízszintesen a $P_{1} P_{2} P_{3} P_{4}$ négyzet $S_{0}$ síkját, jelöljük $G_{i}$ -vel a $P_{i}$ körüli, $i$ egységnyi sugarú gömböt $(i = 1, 2, 3, 4)$ . Az $S_{0}$ egy tetszőleges $P$ pontjának egy $S$ síktól mért előjeles távolságán magát a $P Q$ szakaszt értjük, ahol $Q$ a $P$ vetülete $S$ -en ‐, ha $Q$ az $S_{0}$ fölött van, ha pedig $Q$ az $S_{0}$ alatt van, akkor negatívnak tekintjük $P Q$ -t. Jelöljük négyzetünk középpontját $P_{0}$ -lal, $P_{i}$ -nek $S$ -től mért előjeles távolságát $d_{i} (S)$ -sel, a $P_{i} Q_{i}$ egyenest $e_{i}$ -vel $(i =$ $= 0, 1, 2, 3, 4)$ . Bebizonyítjuk, hogy

\begin{matrix} d_{1} (S) + d_{4} (S) = d_{2} (S) + d_{3} (S), \end{matrix}

(1)

annak belátásával, hogy mindkét oldal

2 d_{0} (S)

-sel egyenlő.

1. ábra

e_{1}

e_{4}

és

e_{0}

egyenesek párhuzamosak és metszik a

P_{1} P_{4}

egyenest, egy síkban vannak és

Q_{0}

nyilvánvalóan felezi a

Q_{1} Q_{4}

-et (1. ábra), emiatt

\begin{matrix} \vec{P_{0} Q_{0}} & = \vec{P_{1} Q_{1}} + \frac{1}{2} (\vec{Q_{1} Q_{4}} - \vec{P_{1} P_{4}}) = \frac{1}{2} (\vec{P_{1} Q_{1}} + \vec{Q_{1} Q_{4}} + \vec{P_{4} P_{1}}) + \frac{1}{2} \vec{P_{1} Q_{1}} = \frac{1}{2} \vec{P_{4} Q_{4}} + \frac{1}{2} \vec{P_{1} Q_{1}}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} \vec{P_{1} Q_{1}} + \vec{P_{4} Q_{4}} = 2 \vec{P_{0} Q_{0}} . \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} d_{1} (S) + d_{4} (S) = 2 d_{0} (S), & és ugyanígy \\ d_{2} (S) + d_{3} (S) = 2 d_{0} (S) . \end{matrix}

Mivel

P_{i}

-nek

S

-től mért távolsága

| d_{i} (S) |

, azért

S

akkor és csakis akkor érinti

G_{i}

-t, ha

\begin{matrix} | d_{i} (S) | = i, \end{matrix}

(2)

míg ha ehelyett

\begin{matrix} | d_{i} (S) | < i, \end{matrix}

(3)

akkor

S

metszi

G_{i}

-t, ha pedig

\begin{matrix} | d_{i} (S) | > i, \end{matrix}

(4)

akkor

S

-nek nincs közös pontja

G_{i}

-vel, kívül halad rajta.
Ha mármost

S

érinti ‐ mondjuk ‐ a

G_{1}

G_{2}

G_{3}

gömböket, akkor

d_{1}

d_{2}

d_{3}

abszolút értéke rendre 1, 2, 3 előjeleik megválasztására pedig

2 \cdot 2 \cdot 2 = 8

lehetőségünk van. Persze négy gömb közül hármat még 3-féleképpen választhatunk, az így szóba jövő eseteket táblázatunkban mutatjuk be. Ebben csillag áll annak a

d_{i}

-nek a helyén, amelyik nem szerepel a választott és előjellel ellátott három között, a megfelelő gömbközéppontnak a másik háromhoz tartozó érintősíktól mért távolságát (1) alapján a

d

-vel jelölt oszlopban adtuk meg, és ennek, valamint (2)‐(4)-nek alapján azt is eldöntöttük, milyen a negyedik gömbnek és a választott három gömböt érintő síknak a kölcsönös helyzete.

\begin{matrix} d_{1} & d_{2} & d_{3} & d_{4} & d \\ 1 & 2 & 3 & * & 4 & érint \\ 1 & 2 & - 3 & * & - 2 & metsz \\ 1 & - 2 & 3 & * & 0 & metsz \\ 1 & - 2 & - 3 & * & - 6 & nem metsz \\ 1 & 2 & * & 4 & 3 & érint \\ 1 & 2 & * & - 4 & - 5 & nem metsz \\ 1 & - 2 & * & 4 & - 7 & nem metsz \\ 1 & - 2 & * & - 4 & - 1 & metsz \\ 1 & * & 3 & 4 & 2 & érint \\ 1 & * & 3 & - 4 & - 6 & nem metsz \\ 1 & * & - 3 & 4 & 8 & nem metsz \\ 1 & * & - 3 & - 4 & 0 & metsz \\ * & 2 & 3 & 4 & 1 & érint \\ * & 2 & 3 & - 4 & 9 & nem metsz \\ * & 2 & - 3 & 4 & - 5 & nem metsz \\ * & 2 & - 3 & - 4 & 3 & nem metsz \end{matrix}

A táblázat 16 esetéből a hátralevő 16 esetet úgy kapjuk, hogy a megválasztott, illetve kiszámított számok mindegyikét

(- 1)

-gyel megszorozzuk (ezzel tulajdonképpen tükrözzük a mindenkori

S

-et

S_{0}

-ra).
Négyszer kaptuk azt, hogy a negyedik gömb érinti a szóban forgó síkot, vagyis a sík mind a négy gömböt érinti, ez azonban egyetlen esetet jelent, azt, amikor az előjeles távolságok értéke rendre (1, 2, 3, 4); így a táblázat 13 esetet jelent, összesen tehát

2 \cdot 13 = 26

, a feladatban kívánt tulajdonságú érintő sík lehet, ezek közül

2 \cdot 4 = 8

metszi a negyedik gömböt, 2 pedig érinti a negyediket is.
Be kell még látnunk, hogy a táblázatban feltüntetett esetek mindegyikének pontosan egy sík felel meg. Ez könnyen következik az alábbi állításból.
Legyen

A

és

B

S_{0}

sík tetszőleges pontja, és írjunk

A

körül

a

sugárral,

B

körül

b

sugárral egy‐egy gömböt, jelöljük ezeket

G_{A}

-val és

G_{B}

-vel, az

S_{0}

alkotott metszésvonalukat

k_{A}

-val és

k_{B}

-vel. Tegyük fel, hogy

k_{A}

és

k_{B}

közül egyik sincs a másik belsejében, és nincs közös pontjuk. Rajzoljuk meg

S_{0}

-ban

k_{A}

és

k_{B}

közös külső érintő egyeneseit, és jelöljük ezek metszéspontját

M

-mel, az általuk határolt szögtartományt, és annak

M

-re vonatkozó tükörképét

K

-val (2. ábra).

2. ábra

Legyen

C

S_{0}

síknak olyan pontja, hogy a

C

köré

c

sugárral írt

G_{C}

gömbnek

S_{0}

-on levő

k_{c}

, köre teljes egészében

K

-n kívül van. Akkor van olyan

S^{+}

, illetve

S^{-}

-sík, amelynek az

A

B

C

pontoktól mért előjeles távolsága rendre

(a, b, c)

, illetve

(a, b, - c)

.
Ehhez felsorolunk néhány állítást sík és az iméntiek szerinti kölcsönös helyzetű gömbök érintkezéséről, bizonyításukat azonban részben az olvasóra hagyjuk.
Ha egy

S

sík két gömböt érint, akkor az érintési ponthoz tartozó sugarak párhuzamosak egymással, hiszen mindkettő merőleges az érintősíkra.

S

-et közös belső érintősíknak mondjuk, ha szétválasztja a két gömbközéppontot; és közös külső érintősíknak, ha nem választja szét őket, e két esetben a mondott sugarak ‐ mint a gömbközéppontból induló félegyenesek ‐ rendre ellentétes, illetve megegyező irányúak.
Az

O_{i}

O_{j}

középpontú, különböző

r_{i}

r_{j}

sugarú

(r_{j} > r_{i})

G_{i}

G_{j}

gömbök két különböző centrumra vonatkozóan hasonló helyzetűek egymáshoz. Egymásnak páronként megfelelő pontjaik a párhuzamos és egyirányú sugaraik

E_{i}

E_{j}

végpontjai, illetve a párhuzamos és ellentétes irányú sugaraik

F_{i}

L_{j}

végpontjai. Az ilyen végpontpárokat összekötő

E_{i} E_{j}

, illetve

F_{i} L_{j}

egyenesek valamennyien átmennek az

O_{i} O_{j}

egyenes egy‐egy állandó (

E_{i}

, ill.

F_{i}

megválasztásától független) pontján, ez a gömbjeink

K_{i j}

külső, ill.

B_{i j}

belső hasonlósági centruma. Ezek távolsága a két gömbközépponttól a

K_{i j} O_{i} E_{i}

és

K_{i j} O_{j} E_{j}

, illetőleg a

B_{i j} O_{i} F_{i}

és

B_{i j} O_{j} L_{j}

hasonló háromszögekből

\begin{matrix} K_{i j} O_{v} = \frac{O_{i} O_{j}}{r_{j} + r_{i}} \cdot r_{v}, B_{i j} O_{v} = \frac{O_{i} O_{j}}{r_{j} - r_{i}} \cdot r_{v}, \end{matrix}

ahol

v = i

j

(az indexek valamelyike).

B_{i j}

O_{i} O_{j}

szakaszon van,

K_{i j}

pedig ennek

O_{i}

-n túli meghosszabbításán, és

B_{i j}

is,

K_{i j}

is kívül van

G_{i}

G_{j}

mindegyikén.
E két gömb bármely közös érintősíkja vagy

K_{i j}

-n vagy

B_{i j}

-n átmegy és ennek megfelelően rendre külső, ill. belső közös érintősíkról van szó. ‐ Fordítva, ha egy sík átmegy valamelyik hasonlósági centrumon és érinti a gömbök egyikét, akkor érinti a másik gömböt is. (Mindkét típusú érintősíkból végtelen sok van, ezek egyben egy‐egy forgási kúpfelület érintősíkjai, melynek csúcsa

K_{i j}

, ill.

B_{i j}

és tengelye az

O_{i} O_{j}

egyenes.)

Most rátérünk a

G_{A}

G_{B}

G_{C}

gömbökre vonatkozó állításunk bizonyítására. Jelöljük

k_{A}

és

k_{B}

egyik közös külső érintőjét

e

-vel, az ezen átmenő,

S_{0}

-ra merőleges síkot

S

-sel,

G_{A}

és

G_{C}

közös belső hasonlósági centrumát

H_{b}

-vel, a külsőt

H_{k}

-val. Belátható, hogy ha

k_{c}

K

-n kívül van, akkor

H_{b}

is,

H_{k}

K

-n kívül van (ennek bizonyítását az olvasóra hagyjuk). Forgassuk el

S

-et az

A B

egyenes körül úgy, hogy menjen át

H_{k}

-n, jelöljük a kapott síkot

S_{k}

-val, és forgassuk el úgy is, hogy menjen át

H_{b}

-n ‐ ezt a helyzetet jelöljük

S_{b}

-sel. (Mivel

H_{b}

és

H_{k}

K

-n kívül van, az

S_{k}

S_{b}

síkok valóban léteznek.) Az

S_{k}

sík érinti

G_{A}

-t és átmegy

H_{k}

-n, így

G_{c}

-t is érinti, és nem választja el egymástól sem

G_{A}

-t és

G_{B}

-t, sem

G_{A}

-t és

G_{C}

-t, vagyis a

G_{A}

G_{B}

G_{C}

gömbök

S_{k}

-nak ugyanazon az oldalán vannak. Emiatt az érintési pontokhoz tartozó sugarak

S_{0}

-nak ugyanazon az oldalán vannak, tehát

S

-nek az

A

B

C

pontoktól mért előjeles távolságai ugyanolyan előjelűek: vagy mind a három pozitív, vagy mind negatív. Ha mind pozitív, akkor készen vagyunk, ha mind negatív, akkor

S_{k}

-nak

S_{0}

-ra vonatkozó tükörképe a keresett

S^{+}

sík. Mivel az a sík, amelyiknek

A

-tól

B

-től,

C

-től mért előjeles távolsága rendre

a

b

c

, érinti

G_{A}

-t,

G_{B}

-t és

G_{C}

-t, és ezeket a gömböket nem választja el egymástól, ez a sík csak

S_{k}

, vagy annak az

S_{0}

-ra vonatkozó tükörképe lehet.
Hasonlóan láthatjuk be, hogy az

(a, b, - c)

előjeles távolságokhoz tartozó

S^{-}

sík csak

S_{b}

vagy annak

S_{0}

-ra vonatkozó tükörképe lehet, és hogy e két sík egyikéhez valóban ezek az előjeles távolságok tartoznak.
A feladat megoldását ezzel befejeztük.

Megjegyzés. Több versenyző alapította megoldását a következő síkmértani tételre: ha tekintjük három kör páronként vett belső és külső hasonlósági pontjait, ez a 6 pont hármasával egy‐egy egyenesre ‐ a körök hasonlósági tengelyeire ‐ illeszkedik; 4 ilyen tengely van, egyikükön a 3 külső hasonlósági pont van rajta, a többi háromon két körpár belső és egy körpár külső hasonlósági pontja. A hasonlóság azok közt a gömbök közt is fennáll, amelyeknek az előbbi körök főkörei, és a mondott 4 tengely mindegyikén át 2‐2 közös érintő síkja megy át a 3 gömbnek, ezek egymás tükörképei a 3 gömbközéppont által meghatározott síkra és más közös érintősíkjuk nincs ‐ hacsak a hasonlósági pontok mind kívül esnek a főkörökön (gömbökön), és ha a 3 gömbközéppont nem esik egy egyenesbe.

3. ábra

Ezeket a tengelyeket tünteti fel a 3. ábra az adott 4 gömb esetére. A centrumok helyzetét megadó fenti képletek szerint a 4 gömbből képezhető 6 párnak a

K_{12}

...

K_{34}

külső hasonlósági pontjai egy egyenesen vannak, ezen megy át a 4 gömb közös külső érintősíkja, ebben a hármasával vett tengelyek közül 4-esik egybe, másutt nincs tengelyek egybeesése. (Szemléletesen azt jelenti a közös érintősík létezése, hogy a 4 gömböt az előírt helyzetben egymáshoz rögzítve, a rendszer letehető síklapra úgy, hogy mind a 4 gömb támaszkodik a síkra.)