Feladat: 1372. matematika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Antal T. ,  Arányi P. ,  Balla Katalin ,  Balogh K. ,  Csikós M. ,  Dabóczy Á. ,  Darvas Gy. ,  Deák J. ,  Dévaj Ágnes ,  Domokos L. ,  Domokos Zsuzsanna ,  Elekes Gy. ,  Fenyő Zsófia ,  Forgács P. ,  Herényi I. ,  Hoffer Anna ,  Hoffmann Gy. ,  Juhász F. ,  Kafka P. ,  Kiss István ,  Korchmáros G. ,  Kovács Kristóf ,  Kun István ,  Lábadi A. ,  Lamm P. ,  Lévai F. ,  Majtényi G. ,  Márki L. ,  Racskó P. ,  Scsaurszky P. ,  Simig Gy. ,  Staub Klára ,  Steiner Gy. ,  Surányi L. ,  Sükösd Cs. ,  Szalay M. ,  Szántó O. ,  Szász A. ,  Szeidl L. ,  Székely G. ,  Szemkeő Judit ,  Szilágyi P. ,  Szörényi M. ,  Telegdi L. ,  Tényi G. ,  Vesztergombi Katalin 
Füzet: 1966/január, 17 - 19. oldal  PDF file
Témakör(ök): Sorozat határértéke, Konvergens sorok, Négyzetszámok összege, Határozott integrál, Parabola egyenlete, Kúpszeletek érintői, Terület, felszín, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1965/február: 1372. matematika feladat

Legyen az y2=4x parabolához a P (-8; 2) pontból húzott két érintő érintési pontja M, ill. N. Milyen arányban osztja ketté a parabola MN íve a PMN háromszög területét?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Tudjuk, hogy az y2=2px parabola M (x1, y1) pontjához húzott érintő egyenlete

yy1=p(x+x1).
Esetünkben p=2, és az érintő átmegy az előírt P ponton, ezért
2y1=2(-8+x1).
Másrészt M rajta van a parabolán, így
y12=4x1.
E két egyenletből x1 kiküszöbölésével
y12-4y1-32=0,
amiből y'1=-4, y''1=8, és a hozzájuk tartozó x-értékek x'1=4, x''1=16, ennélfogva az érintési pontok M (4; -4) és N (16; 8).
 
II. A PMN háromszög területének meghatározása céljára (1. ábra) válasszuk ki a magasságra nézve középső csúcspontot (papírunkat a szokásos módon tartva). P, M, N ordinátája rendre 2, -4, 8, így a keresett pont P. Vágjuk ketté a háromszöget a P-n átmenő, az X tengellyel párhuzamos egyenessel, messe ez az MN oldalt P1-ben, ennek koordinátái egyszerű számítás szerint P1(10;2). A PP1M és PP1N rész‐háromszögek közös alapja PP1=18 egység, erre merőleges magasságuk M, ill. N távolsága PP1-től, abszolút értékben véve, ami 6, ill. 6 egység, így mindkettőnek területe 54 egység, a PMN háromszögé pedig 108 egység.
 
 
1. és 2. ábra
 

III. Meghatározzuk a PM, PN szakasz és az MN parabolaív határolta T idom területét. Messe a PM, PN egyenes az Y tengelyt Q-ban, ill. R-ben, így T összetehető a PQR háromszögből, valamint az OQM és ONR vegyesen görbe és egyenes határvonalú idomokból, parabolikus háromszögekből, melyeket az OQ, QM szakaszok és az OM parabolaív, ill. az OR, RN szakaszok és az ON ív határolnak. Legyen még M és N vetülete az Y tengelyre M1, ill. N1, így az utóbbi két idom területét az OM1M parabolikus és a QM1M egyenesvonalú háromszög területének különbsége adja, ill. az ONN1 és az RNN1 háromszögek területének különbsége. Q és R ordinátája -2, ill. 4, így a PQR, QM1M és RNN1 háromszög területe rendre 24, 4, ill. 32 egység.
Jelölje y0 a parabola X-tengely fölötti íve egy tetszés szerinti L pontjának ordinátáját, és legyen L vetülete Y-ra L1, így OL1=y0 (2. ábra). Az OLL1 parabolikus háromszög területét a két határ közé zárás módszerével1 határozzuk meg. Osszuk fel OL1-et n egyenlő részre, húzzunk az osztópontokon és L-en át merőlegeseket az Y-tengelyre, továbbá párhuzamosakat az Y tengellyel a parabola és az előbbi merőlegesek metszéspontjain át a szomszédos merőlegesekig. A merőlegesek OL1L-et n részre, görbevonalú trapézokra és egy görbevonalú háromszögre osztják. Mindegyik ilyen rész magába zár egy téglalapot ‐ kivéve a görbevonalú háromszöget ‐, másrészt benne fekszik egy téglalapban, ezért területe nagyobb az előbbi téglalap területénél, és kisebb az utóbbiénál. Így az OLL1 idom t területe nagyobb a beírt téglalapok területének összegénél és kisebb a lefedőkénél.
Az osztáspontok ordinátái O-tól L1 felé haladva y0/n, 2y0/n, ..., (n-1)y0/n, az ezekben emelt merőlegeseken levő parabolapont abszcisszája (ami az illető szakasz fölötti trapézba beírt, és az alatta levő trapézt lefedő téglalap hosszúsága), a parabola x=y2/4 egyenletéből
y024n2,22y024n2,...,(n-1)2y024n2,
így a lefedő téglalapokból alakuló lépcsős sokszög Sn területe, a téglalapok közös y0/n szélességét mindjárt kiemelve
Sn=y0n[y024n2+22y024n2+...+(n-1)2y024n2+n2y024n2]==y0341n3[12+22+...+(n-1)2+n2],


ugyanis az utolsó lefedő téglalap hosszúsága y02/4=n2y02/4n2. A beírt lépcsős sokszög sn területét ebből az utolsó tag elhagyásával kapjuk, más szóval úgy, hogy 0-t írunk helyette. Ugyanis mindegyik görbevonalú trapézba beírt téglalap egybevágó az alsó szomszéd trapéz köré írt téglalappal, az első (legalsó) részbe, a görbevonalú háromszögbe pedig nem írható téglalap, de területe pozitív, egy alsó korlátja a pótlásul beírt 0. Így
sn=y0341n3[12+22+...+(n-1)2],
és minden n pozitív egész szám esetén
sn<t<Sn.

Láttuk a tankönyv idézett helyén, hogy az 1/3 szám minden n pozitív egész esetén
1n3[12+22+...+(n-1)2] és 1n3[12+22+...+(n-1)2+n]
közé esik, és csak ez a szám esik a két korlát közé, ezért az idézett gondolatmenetet befejezve
t=y03413.(1)

IV. L helyén N-et véve y0=8, és az ONN1 parabolikus háromszög területe 128/3 egység, a mondott ONR idomé pedig az előrebocsátottak szerint 128/3-32=32/3 egység.
Az OM1M parabolikus háromszög területe nyilvánvalóan egyenlő az M-nek X-re vett M* tükörképéből hasonlóan adódó OM1*M* parabolikus háromszög területével. M* ordinátája +4, ezt írva y0 helyére az előbbihez hasonlóan kapjuk, hogy a mondott OQM idom területe 4/3.
V. Mindezek szerint a PMN-ből a T idom területe 24+4/3+32/3=36 egységnyi. A parabolaív és húrja közötti részé 108-36=72 egység, és így a két rész aránya 1:2.
 
 Kun István (Budapest, Kossuth L. közg. techn. IV. o. t.)
 

Megjegyzések. 1. Az M, N pontok koordinátáit az I. részben idézett képlet alkalmazása helyett úgy is meghatározhatjuk, hogy felírjuk határozatlan m iránytényezővel egy a P-n átmenő egyenes egyenletét, majd az m-et úgy határozzuk meg, hogy az egyenes és a parabola metszéspontjának pl. abszcisszájára adódó másodfokú egyenletnek csak egy gyöke legyen, tehát diszkriminánsa eltűnjék. Ez m-re másodfokú egyenletet ad, amit a két érintő iránytényezője elégít ki.
 
2. A PMN háromszög területét több dolgozat a
[x1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2)]/2
képlet alapján számította ‐ ahol xi, yi, a Ci csúcs koordinátái, i=1, 2, 3 ‐, nem tudva, vagy figyelmen kívül hagyva, hogy a területet helyesen a mondott kifejezés abszolút értéke adja meg. Így esetünkben a csúcsokat pl. P, M, N sorrendben véve 108, viszont a PNM sorrendhez -108 adódnék területül.
Hasonló probléma merülne fel, ha az (1) képletbe közvetlenül y0=-4-et helyettesítenénk.
 

3. Belátható, hogy a parabola két érintője és az érintési pontokat összekötő húr alkotta háromszög területét a parabolaív mindig 1:2 arányban osztja ketté.

1Lásd Hódi E.‐Szász G.‐Tolnai J.: Matematika a gimn. IV. o. számára 8. kiad. Tankönyvkiadó, Bp., 1959. 117‐121. o.