|
Feladat: |
1372. matematika feladat |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Antal T. , Arányi P. , Balla Katalin , Balogh K. , Csikós M. , Dabóczy Á. , Darvas Gy. , Deák J. , Dévaj Ágnes , Domokos L. , Domokos Zsuzsanna , Elekes Gy. , Fenyő Zsófia , Forgács P. , Herényi I. , Hoffer Anna , Hoffmann Gy. , Juhász F. , Kafka P. , Kiss István , Korchmáros G. , Kovács Kristóf , Kun István , Lábadi A. , Lamm P. , Lévai F. , Majtényi G. , Márki L. , Racskó P. , Scsaurszky P. , Simig Gy. , Staub Klára , Steiner Gy. , Surányi L. , Sükösd Cs. , Szalay M. , Szántó O. , Szász A. , Szeidl L. , Székely G. , Szemkeő Judit , Szilágyi P. , Szörényi M. , Telegdi L. , Tényi G. , Vesztergombi Katalin |
Füzet: |
1966/január,
17 - 19. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Sorozat határértéke, Konvergens sorok, Négyzetszámok összege, Határozott integrál, Parabola egyenlete, Kúpszeletek érintői, Terület, felszín, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1965/február: 1372. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. Tudjuk, hogy az parabola (, ) pontjához húzott érintő egyenlete Esetünkben , és az érintő átmegy az előírt ponton, ezért Másrészt rajta van a parabolán, így E két egyenletből kiküszöbölésével amiből , , és a hozzájuk tartozó -értékek , , ennélfogva az érintési pontok (4; ) és (16; 8).
II. A háromszög területének meghatározása céljára (1. ábra) válasszuk ki a magasságra nézve középső csúcspontot (papírunkat a szokásos módon tartva). , , ordinátája rendre 2, , 8, így a keresett pont . Vágjuk ketté a háromszöget a -n átmenő, az tengellyel párhuzamos egyenessel, messe ez az oldalt -ben, ennek koordinátái egyszerű számítás szerint . A és rész‐háromszögek közös alapja egység, erre merőleges magasságuk , ill. távolsága -től, abszolút értékben véve, ami 6, ill. 6 egység, így mindkettőnek területe 54 egység, a háromszögé pedig 108 egység.
1. és 2. ábra III. Meghatározzuk a , szakasz és az parabolaív határolta idom területét. Messe a , egyenes az tengelyt -ban, ill. -ben, így összetehető a háromszögből, valamint az és vegyesen görbe és egyenes határvonalú idomokból, parabolikus háromszögekből, melyeket az , szakaszok és az parabolaív, ill. az , szakaszok és az ív határolnak. Legyen még és vetülete az tengelyre , ill. , így az utóbbi két idom területét az parabolikus és a egyenesvonalú háromszög területének különbsége adja, ill. az és az háromszögek területének különbsége. és ordinátája , ill. 4, így a , és háromszög területe rendre 24, 4, ill. 32 egység. Jelölje a parabola -tengely fölötti íve egy tetszés szerinti pontjának ordinátáját, és legyen vetülete -ra , így (2. ábra). Az parabolikus háromszög területét a két határ közé zárás módszerével határozzuk meg. Osszuk fel -et egyenlő részre, húzzunk az osztópontokon és -en át merőlegeseket az -tengelyre, továbbá párhuzamosakat az tengellyel a parabola és az előbbi merőlegesek metszéspontjain át a szomszédos merőlegesekig. A merőlegesek -et részre, görbevonalú trapézokra és egy görbevonalú háromszögre osztják. Mindegyik ilyen rész magába zár egy téglalapot ‐ kivéve a görbevonalú háromszöget ‐, másrészt benne fekszik egy téglalapban, ezért területe nagyobb az előbbi téglalap területénél, és kisebb az utóbbiénál. Így az idom területe nagyobb a beírt téglalapok területének összegénél és kisebb a lefedőkénél. Az osztáspontok ordinátái -tól felé haladva , , , , az ezekben emelt merőlegeseken levő parabolapont abszcisszája (ami az illető szakasz fölötti trapézba beírt, és az alatta levő trapézt lefedő téglalap hosszúsága), a parabola egyenletéből | | így a lefedő téglalapokból alakuló lépcsős sokszög területe, a téglalapok közös szélességét mindjárt kiemelve
ugyanis az utolsó lefedő téglalap hosszúsága . A beírt lépcsős sokszög területét ebből az utolsó tag elhagyásával kapjuk, más szóval úgy, hogy 0-t írunk helyette. Ugyanis mindegyik görbevonalú trapézba beírt téglalap egybevágó az alsó szomszéd trapéz köré írt téglalappal, az első (legalsó) részbe, a görbevonalú háromszögbe pedig nem írható téglalap, de területe pozitív, egy alsó korlátja a pótlásul beírt 0. Így | | és minden pozitív egész szám esetén Láttuk a tankönyv idézett helyén, hogy az szám minden pozitív egész esetén | | közé esik, és csak ez a szám esik a két korlát közé, ezért az idézett gondolatmenetet befejezve IV. helyén -et véve , és az parabolikus háromszög területe egység, a mondott idomé pedig az előrebocsátottak szerint egység. Az parabolikus háromszög területe nyilvánvalóan egyenlő az -nek -re vett tükörképéből hasonlóan adódó parabolikus háromszög területével. ordinátája , ezt írva helyére az előbbihez hasonlóan kapjuk, hogy a mondott idom területe . V. Mindezek szerint a -ből a idom területe egységnyi. A parabolaív és húrja közötti részé egység, és így a két rész aránya .
Kun István (Budapest, Kossuth L. közg. techn. IV. o. t.)
Megjegyzések. 1. Az , pontok koordinátáit az I. részben idézett képlet alkalmazása helyett úgy is meghatározhatjuk, hogy felírjuk határozatlan iránytényezővel egy a -n átmenő egyenes egyenletét, majd az -et úgy határozzuk meg, hogy az egyenes és a parabola metszéspontjának pl. abszcisszájára adódó másodfokú egyenletnek csak egy gyöke legyen, tehát diszkriminánsa eltűnjék. Ez -re másodfokú egyenletet ad, amit a két érintő iránytényezője elégít ki.
2. A háromszög területét több dolgozat a | | képlet alapján számította ‐ ahol , , a csúcs koordinátái, , 2, 3 ‐, nem tudva, vagy figyelmen kívül hagyva, hogy a területet helyesen a mondott kifejezés abszolút értéke adja meg. Így esetünkben a csúcsokat pl. , , sorrendben véve 108, viszont a sorrendhez adódnék területül. Hasonló probléma merülne fel, ha az (1) képletbe közvetlenül -et helyettesítenénk.
3. Belátható, hogy a parabola két érintője és az érintési pontokat összekötő húr alkotta háromszög területét a parabolaív mindig arányban osztja ketté.
Lásd Hódi E.‐Szász G.‐Tolnai J.: Matematika a gimn. IV. o. számára 8. kiad. Tankönyvkiadó, Bp., 1959. 117‐121. o. |
|