Feladat: 2014. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 2. feladata Korcsoport: - Nehézségi fok: nehéz
Füzet: 2014/október, 426 - 429. oldal  PDF file
Témakör(ök): Nemzetközi Fizika Diákolimpia, Reális gázok állapotegyenlete (van der Waals-egyenlet), Görbületi nyomás
Hivatkozás(ok):Feladatok megoldásai: 2014/november: 2014. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 2. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
2. feladat. Van der Waals-állapotegyenlet (összesen 11 pont). Az ideális gázok jól ismert állapotegyenlete ugyan kielégíti a Clapeyron‐Mengyelejev-törvényt, azonban a következő fontos fizikai hatásokat elhanyagolja. Először, a valódi gázrészecskék mérete nem nulla; másodszor, a részecskék kölcsönhatnak egymással. Ebben a feladatban mindenütt egy mól vizet vizsgálunk.
A rész. Reális gáz állapotegyenlete (2 pont). A részecskék véges méretének figyelembevételével a gáz állapotegyenlete
p(V-b)=RT,(1)
ahol p, V, T rendre a gáz nyomását, moláris térfogatát és hőmérsékletét jelöli, R az univerzális gázállandó, b pedig egy konstans, mely a kizárt térfogatot jellemzi.
A1 kérdés (0,3 pont): Becsüld meg a b konstans értékét, és fejezd ki a molekulák d átmérőjével.
A molekulák közti vonzó kölcsönhatás figyelembevételére van der Waals a következő állapotegyenletet javasolta, mely jól leírja a közegeket, mind a folyadék, mind a gáz fázisban:
(p+aV2)(V-b)=RT.(2)
Az egyenletben szereplő a egy másik konstans.
Bizonyos Tk kritikus hőmérséklet alatti T hőmérsékletek esetén a (2) egyenlet izotermái a 3. ábra 1. jelű görbéjéhez hasonló, nem monoton függvények. Ezeket van der Waals-izotermáknak nevezzük. Ugyanezen az ábrán a 2. jelű görbe az ideális gáz megfelelő izotermáját mutatja. A valódi izotermák a van der Waals-izotermáktól abban különböznek, hogy az AB szakaszon a nyomás értéke konstans, melyet pFG jelöl. A konstans szakasz a VF és VG térfogattal jelölt állapotok között helyezkedik el, ahol a két térfogat rendre a folyadék, illetve a gáz fázis móltérfogatát jelöli. A termodinamika második főtételét felhasználva J. Maxwell megmutatta, hogy a pFG nyomás az az érték, amely mellett az ábrán látható I. és II. területek megegyeznek.

 

3. ábra. A folyadék‐gáz átmenethez tartozó van der Waals-izoterma (1. görbe),
valamint az ideális gáz izotermája (2. görbe)
 
 

A hőmérséklet növelésével az izotermák AB konstans szakasza egyetlen ponttá zsugorodik össze, amikor a hőmérséklet, illetve a nyomás elér egy bizonyos Tk, illetve pFG=pk értéket. A pk és Tk értékeket, melyek kísérletileg nagy pontossággal mérhetők, kritikus értékeknek nevezzük.
A2 kérdés (1,3 pont): Fejezd ki a van der Waals-egyenletben szereplő a és b paraméter értékét Tk és pk segítségével.
A3 kérdés (0,2 pont): Víz esetében Tk=647 K és pk=2,2107 Pa. Add meg víz esetén az avíz és bvíz paraméterek numerikus értékét.
A4 kérdés (0,2 pont): Becsüld meg a vízmolekulák dvíz átmérőjét.
B rész. Gáz és folyadék fázis tulajdonságai (6 pont). A feladatnak ebben a részében T=100C hőmérsékletű víz tulajdonságait vizsgáljuk gáz, illetve folyadék fázisban. Jól ismert, hogy ezen a hőmérsékleten a telített vízgőz nyomása pFG=p0=1,0105Pa, a víz moláris tömege pedig μ=1,810-2kgmol.
Gáz fázis. Ésszerű feltételezés, hogy gáz halmazállapotában fennáll a VGb egyenlőtlenség.
B1 kérdés (0,6 pont): Fejezd ki a VG térfogatot az R, T, p0 és a mennyiségek segítségével.
Az ideális gáz állapotegyenletét használva kicsit más VG 0 móltérfogat adódik, ami jól közelíti a fenti móltérfogatot.
B2 kérdés (0,3 pont): Határozd meg a gőz móltérfogatának a molekulák közti vonzóerő hatására bekövetkező relatív csökkenését, azaz a
ΔVGVG 0=VG  -VG0VG 0
mennyiséget.
Ha a rendszer térfogatát VG alá csökkentjük, akkor a gőz általában elkezd lecsapódni. Azonban ha a gáz igen tiszta, akkor mechanikai szempontból metastabil állapotban is maradhat (ezt túlhűtött gőznek nevezünk). A metastabil állapot végső határa a VG,min móltérfogat. Állandó hőmérsékleten a túlhűtött gőz létezésének a feltétele:
ΔpΔV<0.

B3 kérdés (0,7 pont): Add meg egyenlettel, és számold is ki numerikusan, hogy a telített vízgőz térfogata legfeljebb hányadrészére csökkenthető túlhűtéssel, azaz határozd meg a VG  VG,min hányadost.
Folyadék fázis. A víz folyékony halmazállapotában a van der Waals-állapotegyenlet használatakor ésszerű feltételezés, hogy a pa/V2 egyenlőség teljesül.
B4 kérdés (1 pont): Fejezd ki a víz VF móltérfogatát folyadék halmazállapotban az a, b, R és T mennyiségek segítségével.
Feltételezve, hogy bRTa, határozd meg a víz következő jellemzőit. Ne lepődj meg, ha a kapott értékek némelyike nem egyezik a táblázatokban is megtalálható, jól ismert értékekkel.
B5 kérdés (0,3 pont): Fejezd ki a víz ϱF sűrűségét folyadék fázisban a μ, a, b, R mennyiségek (némelyikének) segítségével, és határozd meg a sűrűség numerikus értékét is.
B6 kérdés (0,6 pont): Fejezd ki az
α=1VFΔVFΔT
térfogati hőtágulás együtthatót az a, b, R mennyiségekkel, és add meg az együttható numerikus értékét is.
B7 kérdés (1,1 pont): Fejezd ki a víz (tömegegységre vonatkoztatott) L párolgáshőjét a μ, a, b, R mennyiségek segítségével, és add meg a párolgáshő numerikus értékét.
B8 kérdés (1,2 pont): Egyetlen molekula vastagságú vízréteget vizsgálva becsüld meg a víz σ felületi feszültségét.
C rész. Folyadék‐gáz rendszer (3 pont). A Maxwell-szabály segítségével (a területek egyenlőségét kifejező egyszerű integrálással), a van der Waals-állapotegyenlet felhasználásával valamint a B részben alkalmazott közelítések figyelembevételével megmutatható, hogy a telített vízgőz pFG nyomásának a T hőmérséklettől való függése
lnpFG=A+BT(3)
alakú, ahol az A és B konstansok a következőképpen fejezhetőek ki az a és b paraméterekkel:
A=ln(ab2)-1,B=-abR.
W. Thomson megmutatta, hogy a telített vízgőz nyomása függ a folyadékfelszín görbületétől is. Tekintsünk ugyanis egy folyadékot, mely nem nedvesíti egy kapilláris cső falát (az illeszkedési szög 180). Ha a kapillárist a folyadékba merítjük, akkor a folyadékszint a felületi feszültség miatt a csőben lejjebb száll (lásd az 4. ábrát).

 

4. ábra. A nem nedvesítő folyadékba merülő kapilláris cső
 

C1 kérdés (1,3 pont): Fejezd ki a görbült folyadékfelszín fölötti telített vízgőz nyomásának kicsiny ΔpT megváltozását a vízgőz ϱG sűrűsége, a folyadék ϱF sűrűsége, a σ felületi feszültség valamint a felszín r görbületi sugara segítségével.
A B3 részben vizsgált metastabil állapotot sok kísérleti elrendezésben használják, például az elemi részecskék detektálására szolgáló ködkamrában is. A túlhűtött állapot természeti jelenségeknél is megfigyelhető, például a hajnali harmatképződésnél. A túlhűtött vízgőz folyadékcseppeket formálva csapódik ki. A nagyon kis méretű vízcseppek gyorsan elpárolognak, azonban a kellően nagyok tovább növekedhetnek.
C2 kérdés (1,7 pont): Tegyük föl, hogy este t0=20C hőmérsékleten a levegőben levő vízgőz telített, és hajnalra a környezet hőmérséklete kismértékben, Δt=5C-kal csökken. Feltételezve, hogy a pára nyomása nem változik, becsüld meg azt a minimális sugarat, amelynél nagyobb vízcseppek mérete növekszik. Használd a víz felületi feszültségének irodalmi értékét: σ=7,310-2 N/m.