Feladat:	2014. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 2. feladata	Korcsoport: -	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2014/október, 426 - 429. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Nemzetközi Fizika Diákolimpia, Reális gázok állapotegyenlete (van der Waals-egyenlet), Görbületi nyomás
Hivatkozás(ok):	Feladatok megoldásai: 2014/november: 2014. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 2. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   2. feladat. Van der Waals-állapotegyenlet (összesen 11 pont). Az ideális gázok jól ismert állapotegyenlete ugyan kielégíti a Clapeyron‐Mengyelejev-törvényt, azonban a következő fontos fizikai hatásokat elhanyagolja. Először, a valódi gázrészecskék mérete nem nulla; másodszor, a részecskék kölcsönhatnak egymással. Ebben a feladatban mindenütt egy mól vizet vizsgálunk. A rész. Reális gáz állapotegyenlete (2 pont). A részecskék véges méretének figyelembevételével a gáz állapotegyenlete $\begin{array}{c}{\displaystyle p\left(V-b\right)=RT\mathrm{,}}\end{array}$ (1) ahol $p$, $V$, $T$ rendre a gáz nyomását, moláris térfogatát és hőmérsékletét jelöli, $R$ az univerzális gázállandó, $b$ pedig egy konstans, mely a kizárt térfogatot jellemzi. $A_1$ kérdés (0,3 pont): Becsüld meg a $b$ konstans értékét, és fejezd ki a molekulák $d$ átmérőjével. A molekulák közti vonzó kölcsönhatás figyelembevételére van der Waals a következő állapotegyenletet javasolta, mely jól leírja a közegeket, mind a folyadék, mind a gáz fázisban: $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(p+\frac{a}{V^2}\right)\left(V-b\right)=RT\mathrm{.}}\end{array}$ (2) Az egyenletben szereplő $a$ egy másik konstans. Bizonyos $T_{\text{k}}$ kritikus hőmérséklet alatti $T$ hőmérsékletek esetén a (2) egyenlet izotermái a 3. ábra 1. jelű görbéjéhez hasonló, nem monoton függvények. Ezeket van der Waals-izotermáknak nevezzük. Ugyanezen az ábrán a 2. jelű görbe az ideális gáz megfelelő izotermáját mutatja. A valódi izotermák a van der Waals-izotermáktól abban különböznek, hogy az $AB$ szakaszon a nyomás értéke konstans, melyet $p_{\text{FG}}$ jelöl. A konstans szakasz a $V_{\text{F}}$ és $V_{\text{G}}$ térfogattal jelölt állapotok között helyezkedik el, ahol a két térfogat rendre a folyadék, illetve a gáz fázis móltérfogatát jelöli. A termodinamika második főtételét felhasználva J. Maxwell megmutatta, hogy a $p_{\text{FG}}$ nyomás az az érték, amely mellett az ábrán látható I. és II. területek megegyeznek.   3. ábra. A folyadék‐gáz átmenethez tartozó van der Waals-izoterma (1. görbe), valamint az ideális gáz izotermája (2. görbe)     A hőmérséklet növelésével az izotermák $AB$ konstans szakasza egyetlen ponttá zsugorodik össze, amikor a hőmérséklet, illetve a nyomás elér egy bizonyos $T_{\text{k}}$, illetve $p_{\text{FG}}=p_{\text{k}}$ értéket. A $p_{\text{k}}$ és $T_{\text{k}}$ értékeket, melyek kísérletileg nagy pontossággal mérhetők, kritikus értékeknek nevezzük. $A_2$ kérdés (1,3 pont): Fejezd ki a van der Waals-egyenletben szereplő $a$ és $b$ paraméter értékét $T_{\text{k}}$ és $p_{\text{k}}$ segítségével. $A_3$ kérdés (0,2 pont): Víz esetében $T_{\text{k}}=647$ K és $p_{\text{k}}=2\mathrm{,}2\cdot {10}^7$ Pa. Add meg víz esetén az $a_{\text{víz}}$ és $b_{\text{víz}}$ paraméterek numerikus értékét. $A_4$ kérdés (0,2 pont): Becsüld meg a vízmolekulák $d_{\text{víz}}$ átmérőjét. B rész. Gáz és folyadék fázis tulajdonságai (6 pont). A feladatnak ebben a részében $T=100{}^{\circ }$C hőmérsékletű víz tulajdonságait vizsgáljuk gáz, illetve folyadék fázisban. Jól ismert, hogy ezen a hőmérsékleten a telített vízgőz nyomása $p_{\text{FG}}=p_0=1\mathrm{,}0\cdot {10}^5$Pa, a víz moláris tömege pedig $\mu =1\mathrm{,}8\cdot {10}^{-2}\frac{\text{kg}}{\text{mol}}\mathrm{.}$ Gáz fázis. Ésszerű feltételezés, hogy gáz halmazállapotában fennáll a $V_{\text{G}}\gg b$ egyenlőtlenség. $B_1$ kérdés (0,6 pont): Fejezd ki a $V_{\text{G}}$ térfogatot az $R$, $T$, $p_0$ és $a$ mennyiségek segítségével. Az ideális gáz állapotegyenletét használva kicsit más $V_{\text{G 0}}$ móltérfogat adódik, ami jól közelíti a fenti móltérfogatot. $B_2$ kérdés (0,3 pont): Határozd meg a gőz móltérfogatának a molekulák közti vonzóerő hatására bekövetkező relatív csökkenését, azaz a $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\Delta V_{\text{G}}}{V_{\text{G 0}}}=\frac{V_{\text{G }}-V_{\text{G0}}}{V_{\text{G 0}}}}\end{array}$ mennyiséget. Ha a rendszer térfogatát $V_{\text{G}}$ alá csökkentjük, akkor a gőz általában elkezd lecsapódni. Azonban ha a gáz igen tiszta, akkor mechanikai szempontból metastabil állapotban is maradhat (ezt túlhűtött gőznek nevezünk). A metastabil állapot végső határa a $V_{\text{G,min}}$ móltérfogat. Állandó hőmérsékleten a túlhűtött gőz létezésének a feltétele: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\Delta p}{\Delta V}<0.}\end{array}$ $B_3$ kérdés (0,7 pont): Add meg egyenlettel, és számold is ki numerikusan, hogy a telített vízgőz térfogata legfeljebb hányadrészére csökkenthető túlhűtéssel, azaz határozd meg a $\frac{V_{\text{G }}}{V_{\text{G,min}}}$ hányadost. Folyadék fázis. A víz folyékony halmazállapotában a van der Waals-állapotegyenlet használatakor ésszerű feltételezés, hogy a $p\ll a/V^2$ egyenlőség teljesül. $B_4$ kérdés (1 pont): Fejezd ki a víz $V_{\text{F}}$ móltérfogatát folyadék halmazállapotban az $a$, $b$, $R$ és $T$ mennyiségek segítségével. Feltételezve, hogy $bRT\ll a$, határozd meg a víz következő jellemzőit. Ne lepődj meg, ha a kapott értékek némelyike nem egyezik a táblázatokban is megtalálható, jól ismert értékekkel. $B_5$ kérdés (0,3 pont): Fejezd ki a víz ${\varrho }_{\text{F}}$ sűrűségét folyadék fázisban a $\mu$, $a$, $b$, $R$ mennyiségek (némelyikének) segítségével, és határozd meg a sűrűség numerikus értékét is. $B_6$ kérdés (0,6 pont): Fejezd ki az $\begin{array}{c}{\displaystyle \alpha =\frac{1}{V_{\text{F}}}\frac{\Delta V_{\text{F}}}{\Delta T}}\end{array}$ térfogati hőtágulás együtthatót az $a$, $b$, $R$ mennyiségekkel, és add meg az együttható numerikus értékét is. $B_7$ kérdés (1,1 pont): Fejezd ki a víz (tömegegységre vonatkoztatott) $L$ párolgáshőjét a $\mu$, $a$, $b$, $R$ mennyiségek segítségével, és add meg a párolgáshő numerikus értékét. $B_8$ kérdés (1,2 pont): Egyetlen molekula vastagságú vízréteget vizsgálva becsüld meg a víz $\sigma$ felületi feszültségét. C rész. Folyadék‐gáz rendszer (3 pont). A Maxwell-szabály segítségével (a területek egyenlőségét kifejező egyszerű integrálással), a van der Waals-állapotegyenlet felhasználásával valamint a B részben alkalmazott közelítések figyelembevételével megmutatható, hogy a telített vízgőz $p_{\text{FG}}$ nyomásának a $T$ hőmérséklettől való függése $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{ln}{p}_{\text{FG}}=A+\frac{B}{T}}\end{array}$ (3) alakú, ahol az $A$ és $B$ konstansok a következőképpen fejezhetőek ki az $a$ és $b$ paraméterekkel: $\begin{array}{c}{\displaystyle A=\text{ln}\left(\frac{a}{b^2}\right)-\mathrm{1,}B=-\frac{a}{bR}\mathrm{.}}\end{array}$ W. Thomson megmutatta, hogy a telített vízgőz nyomása függ a folyadékfelszín görbületétől is. Tekintsünk ugyanis egy folyadékot, mely nem nedvesíti egy kapilláris cső falát (az illeszkedési szög ${180}^{\circ }$). Ha a kapillárist a folyadékba merítjük, akkor a folyadékszint a felületi feszültség miatt a csőben lejjebb száll (lásd az 4. ábrát).   4. ábra. A nem nedvesítő folyadékba merülő kapilláris cső   $C_1$ kérdés (1,3 pont): Fejezd ki a görbült folyadékfelszín fölötti telített vízgőz nyomásának kicsiny $\Delta p_T$ megváltozását a vízgőz ${\varrho }_{\text{G}}$ sűrűsége, a folyadék ${\varrho }_{\text{F}}$ sűrűsége, a $\sigma$ felületi feszültség valamint a felszín $r$ görbületi sugara segítségével. A $B_3$ részben vizsgált metastabil állapotot sok kísérleti elrendezésben használják, például az elemi részecskék detektálására szolgáló ködkamrában is. A túlhűtött állapot természeti jelenségeknél is megfigyelhető, például a hajnali harmatképződésnél. A túlhűtött vízgőz folyadékcseppeket formálva csapódik ki. A nagyon kis méretű vízcseppek gyorsan elpárolognak, azonban a kellően nagyok tovább növekedhetnek. $C_2$ kérdés (1,7 pont): Tegyük föl, hogy este $t_0=20{}^{\circ }$C hőmérsékleten a levegőben levő vízgőz telített, és hajnalra a környezet hőmérséklete kismértékben, $\Delta t=5{}^{\circ }$C-kal csökken. Feltételezve, hogy a pára nyomása nem változik, becsüld meg azt a minimális sugarat, amelynél nagyobb vízcseppek mérete növekszik. Használd a víz felületi feszültségének irodalmi értékét: $\sigma =7\mathrm{,}3\cdot {10}^{-2}$ N/m.