Kezdőlap


Feladat:	2008. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 12. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2008/október, 427 - 429. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nemzetközi Fizika Diákolimpia, Egyéb elektromágneses hullám, Egyéb relativitáselmélet
Hivatkozás(ok):	Feladatok megoldásai: 2008/november: 2008. évi Nemzetközi Fizika Diákolimpia 12. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

2. feladat. Cserenkov-sugárzás és gyűrűs képalkotáson alapuló számláló
A fény vákuumban $c$ sebességgel terjed. Semmiféle részecske nem mozoghat ennél a $c$ sebességnél gyorsabban. Azonban lehetséges, hogy valamely átlátszó közegben mozgó részecske $v$ sebessége nagyobb, mint a közegbeli $\frac{c}{n}$ fénysebesség, ahol $n$ a közeg (abszolút) törésmutatója. Kísérletileg 1934-ben P. A. Cserenkov észlelte, majd elméletileg 1937-ben I. J. Tamm és I. M. Frank bizonyította, hogy ha egy töltött részecske $n$ törésmutatójú átlátszó közegben $v$ sebességgel mozog, és teljesül, hogy $v > \frac{c}{n}$ , akkor a részecske fényt bocsát ki; ez az úgynevezett Cserenkov-sugárzás.

A sugárzás iránya a részecske pályájával

\begin{matrix} ϑ = arccos \frac{1}{β n} \end{matrix}

(1)

szöget zár be, ahol

β = \frac{v}{c}

1. A fenti tény megállapítása céljából tekintsünk egy részecskét, mely egyenes pályán állandó

v > \frac{c}{n}

sebességgel mozog. A

t = 0

időpontban a részecske az

A

pontban van, míg a

t_{1}

pillanatban a

B

pontban. Mivel a probléma az

A B

tengelyre nézve forgásszimmetrikus, elegendő csupán egyetlen olyan síkban vizsgálni a fény terjedését, amely tartalmazza az

A B

tengelyt.
Bármely

A

és

B

közti

C

pontban a részecske gömbhullámokat bocsát ki, melyek

\frac{c}{n}

sebességgel terjednek. A hullámfront egy adott

t

időpillanatban a burkolója (közös érintő görbéje) ezeknek a gömbhullámoknak.
1.1. Határozd meg a hullámfrontot egy

t_{1}

időpillanatban, és rajzold be a hullámfrontnak egy, a részecske pályáját tartalmazó síkkal való metszetét!
1.2. Fejezd ki a hullámfront metszete és a részecske pályája között mérhető

φ

szöget

n

és

β

segítségével!

2. Tekintsük

v > \frac{c}{n}

sebességgel mozgó részecskék nyalábját, melyre teljesül, hogy a nyaláb

I S

egyenese és a sugárzás kúpja közti

ϑ

szög kicsi. (Lásd az ábrát!) A nyaláb útjában, az

S

pontban egy

C

középpontú,

f

fókusztávolságú homorú gömbtükör helyezkedik el úgy, hogy az

S C

és az

S I

egyenesek közti

α

szög szintén kicsiny. A tükörről visszavert fény a tükör fókuszsíkjában gyűrű alakú képet alkot. Igazold ezt az állítást egy vázlatos ábra segítségével! Add meg a gyűrű

r

sugarát és középpontjának

O

helyét!

Az itt ismertetett elrendezést a gyűrűs képalkotáson alapuló Cserenkov-számlálókban (Ring Imaging Cherenkov Counter, RICH) használják, és azt a közeget, amiben a részecskék haladnak, sugárzó közegnek nevezik.
Megjegyzés: Ennek a feladatnak minden kérdésében az

α

és

ϑ

szögben másod- vagy ennél magasabb rendű tagokat hanyagoljuk el.

3. Egy ismert,

p = 10, 0

GeV/c impulzusú részecskéket tartalmazó nyaláb háromféle különböző részecskét tartalmaz: protont, kaont és piont, melyek nyugalmi tömege rendre

M_{p} = 0, 94 GeV/c^{2}

M_{κ} = 0, 50 GeV/c^{2}

és

M_{π} = 0, 14 GeV/c^{2}

. Emlékeztetünk rá, hogy mind

p c

, mind pedig

M c^{2}

energia dimenziójú mennyiség, és 1 eV az az energia, amelyre egy elektron 1 V feszültséggel való gyorsítás hatására tesz szert. További mértékegységek:

1 GeV =10^{9}

eV, valamint

1 MeV =10^{6}

eV.
A részecskenyaláb

P

nyomású levegőn, mint sugárzó közegen halad át. A levegő

n

törésmutatója a következő módon függ (az atmoszférákban mért)

P

nyomástól:

\begin{matrix} n = 1 + a P, ahol a = 2, 7 \cdot 10^{- 4} atm^{- 1}. \end{matrix}

3.1. Határozd meg mindhárom részecsketípus esetén azt a minimális

P_{{min}_{}^{}}

levegőnyomást, amely fölött a Cserenkov-sugárzás kialakulhat.
3.2. Határozd meg azt a

P_{\frac{1}{2}}

nyomást, amely mellett a kaonokhoz tartozó gyűrű sugara éppen fele a pionokhoz tartozó gyűrű sugarának! Számold ki ebben az esetben a

ϑ_{κ}

és

ϑ_{π}

szögeket is!
Ezen a nyomáson megfigyelhető-e a protonokhoz tartozó gyűrű?

4. Most tegyük fel, hogy a részecskenyaláb nem teljesen monokromatikus; a részecskék impulzusa egy

10

GeV/c körül koncentrált,

Δ p

félértékszélességű eloszlást alkot. Ennek következtében a gyűrűk kiszélesednek, és a

ϑ

szög eloszlásának félértékszélessége

Δ ϑ

. A sugárzó közeg (levegő) nyomása a 3.2. pontban meghatározott

P_{\frac{1}{2}}

érték.
4.1. Határozd meg

\frac{Δ ϑ_{κ}}{Δ p}

és

\frac{Δ ϑ_{π}}{Δ p}

-t, azaz a

\frac{Δ ϑ}{Δ p}

hányados értékét kaon és pion esetén!
4.2. Amennyiben a két gyűrű közti

ϑ_{π} - ϑ_{κ}

szögeltérés nagyobb, mint a félértékszélességek

Δ ϑ = Δ ϑ_{κ} + Δ ϑ_{π}

összegének 10-szerese, tehát ha

ϑ_{π} - ϑ_{κ} > 10 Δ ϑ

, akkor a két gyűrűt jól el lehet különíteni egymástól. Határozd meg azt a maximális

Δ p

értéket, amely mellett a két gyűrű még jól elkülöníthető!

5. Cserenkov a nevéről elnevezett jelenséget először egy vízzel telt palackban figyelte meg, mely radioaktív forrás közelében helyezkedett el. Szemével érzékelte, hogy a palackban levő víz fényt bocsát ki.
5.1. Határozd meg azt a

T_{{min}_{}^{}}

minimális mozgási energiát, amely mellett egy

M

nyugalmi tömegű, vízben haladó részecske Cserenkov-sugárzást bocsát ki! A víz törésmutatója

n = 1, 33

.
5.2. Tudjuk, hogy a Cserenkov által használt sugárforrás vagy

M_{α} = 3, 8 GeV/c^{2}

nyugalmi tömegű

α

-részecskéket (azaz hélium atommagokat) vagy

M_{e} = 0, 51 MeV/c^{2}

nyugalmi tömegű

β

-részecskéket (azaz elektronokat) bocsát ki. Határozd meg

T_{{min}_{}^{}}

számszerű értékét

α

- és

β

-részecskék esetén!
Felhasználva, hogy radioaktív sugárforrások által kibocsátott részecskék mozgási energája soha nem halad meg néhány MeV-ot, döntsd el, hogy melyik részecske hozta létre a Cserenkov által először megfigyelt sugárzást!

6. Az előző kérdésekben a Cserenkov-effektusnak a kibocsátott fény hullámhosszától való függését nem vettük figyelembe. Most tekintetbe vesszük azt a tényt, hogy a Cserenkov-sugárzásnak széles folytonos spektruma van, mely tartalmazza a látható (0,4

μ

m-től 0,8

μ

m-es hullámhosszig terjedő) tartományt is. Azt is tudjuk, hogy a látható fény tartományában a

λ

hullámhossz növelésével a sugárzó közeg

n

törésmutatója lineárisan csökken

(n - 1)

-nek 2%-ával.
6.1. Tekintsünk egy pontosan

10,0 GeV / c

impulzusú pionokból álló nyalábot, amely 6 atm nyomású levegőben halad. Határozd meg a látható tartomány két végpontjához tartozó

δ ϑ

szögeltérést!
6.2. Az előző eredmény alapján tanulmányozd kvalitatíven (nem számszerűen) a diszperzió hatását egy olyan pion-nyaláb által létrehozott gyűrűs képen, melyben a részecskék impulzusa a

p = 10 GeV/c

érték körül

Δ p = 0, 3 GeV/c

félérték-szélességgel oszlik el.
6.2.1. Határozd meg a gyűrűnek a diszperzió (azaz a törésmutató hullámhossz függése miatt bekövetkező) kiszélesedését, valamint a gyűrűnek a nyalábot alkotó részecskék impulzus-inhomogenitásából fakadó kiszélesedését!
6.2.2. Hogyan változik a gyűrű színe, miközben a gyűrű belső élétől a külső él felé haladunk!