Cím: Megoldásvázlatok a 2005/4. sz. II. középszintű gyakorló feladataihoz
Szerző(k):  Kántor Sándorné Varga Tünde 
Füzet: 2005/áprilisi melléklet, 70 - 74. oldal  PDF file
Témakör(ök): Ábrázoló geometria
Hivatkozás(ok):2005/extra1: Középszintű gyakorló feladatsor II.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. rész
 

1. A válasz: (B).
I. xx+xx=2xx.
II. x2x=(xx)22xx.
III. (2x)x=2xxx2xx.
IV. (2x)2x=22xx2x2xx.
 
2. A válasz: (D).
(35)200552006+5401232006+152006=3200552006(1+52006)5200532006(1+52006)=53.

 
3. Anna 4 napos, Béla 10 napos ciklusban dolgozik, így 4 és 10 legkisebb közös többszörösét kell kiszámolni, tehát 20 naposak az egyes ciklusok. Egy cikluson belül 2 szabadnap közös. A 120 nap alatt 6 ilyen ciklus van, így 12-szer lesz közös a szabadnapjuk.
 
4. AD=(8;3), BC=(12;4,5), így BC=32AD, ezért a négyszög trapéz és nem paralelogramma.
 
5. A válasz (A).
320001,05+80001,140000=42,440=1,06.
Az emelkedés 6%-os volt.
 
6. a) A={0;1;2}, B={-2;2}, C={2;3;5}.
b) ABC={2}.
c) B nem részhalmaza az A-nak, mert -2A.
 
7. a) x2-10, x21, tehát x1 vagy x-1.
b) 1-x>0, x<1.
 
8. 4x-2x+1=3, amiből ekvivalens átalakítással
22x-22x-3=0.
2x=a helyettesítéssel az a2-2a-3=0 másodfokú egyenletet kapjuk, amelynek gyökei: a1=3, a2=-1.
Mivel 2x>0, azért csak az a1=2x=3 esetén kapunk megoldást:
x=lg3lg2=log23.

A kapott gyök kielégíti az eredeti egyenletet.
 
9. Az egy napi gyógyszer ára: 1470Ft14=105 Ft.
Az egy napi gyógyszerfogyasztás: a zöld kapszulából 3 darab, fehér kapszulából két darab. Ha egy zöld kapszula ára x Ft, akkor egy fehér kapszula ára (x-10) Ft. A napi fogyasztás ára:
3x+2(x-10)=105,
amiből x=25 és x-10=15.
Így egy darab zöld kapszula ára 25 Ft, egy darab fehér kapszula ára 15 Ft.
 
10. A válasz: (B).
Az ábráról leolvashatjuk a grafikonnak a koordináta-tengelyekkel való metszéspontjait.
f(0)=2, ezért d=2; f(-1)=0, ezért 0=-a+b-c+2; f(1)=0, ezért 0=a+b+c+2. Így 2b+4=0, tehát b=-2.
 
11. Legyen a kúp és a gömb közös sugarának nagysága: r.
 
 

A gömb térfogata: Vgömb=4r3π3, a kúp térfogata:
Vkúp=r2πm3.
A feltételek miatt:
344r3π3=r2πm3,
amiből m=3r.
 
Így a tölcsérkúp magassága és a fagylaltgömb sugara hosszának az aránya 3:1.
 
12. A válasz: (B).
Ábrát készítünk.
 
 

Az ABCD négyszöget az AC, illetve a BD átlója két-két háromszögre bontja. Nyilvánvaló, hogy ezek területének összege megegyezik az ABCD négyszög területével. Felhasználjuk, hogy egy háromszöget a súlyvonala két egyenlő területű háromszögre bont:
TA'B'C'D'=TABCD+TDC'D'+TB'BA'++TC'CB'+TD'A'A=5TABCD.


A keresett arány: 5:1.
 

II./A rész
 

13. a) Az xcos2x függvény grafikonját az xcosx függvény transzformációjának a segítségével készítjük el.
 
 

Helyi maximuma van a függvénynek az x=kπ, kZ helyeken és értéke 1.
Helyi minimuma van a függvénynek az x=π2+kπ, kZ helyeken és értéke -1.
b) Felhasználjuk, hogy ctgx=cosxsinx.
cos2x-8sin4x=sin2x, amiből 8sin4x+2sin2x-1=0,
sin2x=-2±616,sin2x1=14,sin2x2=-12.
Ez utóbbi nem megfelelő, mivel sin2x0, tehát sinx=12 vagy sinx=-12, amiből az egyenlet megoldásai: x=±π6+kπ, kZ.
Mindegyik gyök kielégíti az eredeti egyenletet.
 
14. a) (I) x-2y=3, (II) 3x-y=4 egyenletrendszert megoldjuk, pl. a behelyettesítő módszerrel. (I)-ből x=2y+3, amit (II)-be visszahelyettesítünk. Így megkapjuk, hogy y=-1, x=1, tehát az M metszéspont koordinátái: (1;-1).
b) A h egyenes illeszkedik az M(1;-1) pontra.
A g egyenes normálvektora: ng(2;-3).
A h egyenes normálvektora pl.: nh(3;2).
 
 

A keresett h egyenes egyenlete:
3x+2y=3-2=1,
vagy más formában
y=-32x+12.

c) A h egyenes az A(0;12) pontban metszi az y tengelyt, a B(13;0) pontban metszi az x tengelyt.
 
15. Legyen d(BC)=2a. Jelöljük a BC oldal felezőpontját F-fel és legyen BFA=δ. Ekkor
AFC=180-δéscos(180-δ)=-cosδ.

Írjuk fel a koszinusz tételt az ABF és az AFC háromszögekre:
a2+4a2-4a2cosδ=1a2+4a2+4a2cosδ=4,
amiből 10a2=5, a=22. Így d(BC)=2a=2 (cm).
 
 

Közelítő értékkel (1 tizedes jegy pontosságig, az adatok pontosságának megfelelően) d(BC)1,4 cm.
 

II./B rész
 

16. Ha a 2-es számot tartalmazó cédulát háromszor húztuk ki és a számok összege 6, akkor a feljegyzésünk: (2;2;2). Tehát a kedvező esetek száma: 1.
Az összes eset, amikor a számjegyek összege 6, a következő:
(1;2;3);(1;3;2);(2;3;1);(2;1;3);(3;1;2);(3;2;1);(2;2;2).
Így összesen 7 eset van. A keresett valószínűség: 17.
 
17. a) a4, a7, a10 is egy számtani sorozat három szonszédos tagja. Ha a7=x, akkor
(x-3d)+x+(x+3d)=17,
amiből a7=173.
b) a4,a5,...,a9,...,a13,a14 tagok közül a mediánt (a középsőt), vagyis a9-et y-nal jelölve és felhasználva a számtani sorozat definícióját kapjuk, hogy
(y-5d)+(y-4d)+...+(y-d)+y+(y+d)+...+(y+4d)+(y+5d)=77,
innen y=a9=7.
c) Mivel a9-a7=2d, azért d=23.
d) a7=a1+6d, amiből a1=53.
e) ak=a1+(k-1)d, 13=53+(k-1)23, amiből k=18, tehát a18=13.
 
18. A fácánok száma: 2001-ben 39, 2002-ben 60, 2003-ban x, 2004-ben 123.
a) A feltétel szerint:
x-39=60k, ahol k az arányossági tényező és 123-60=kx.
Innen
k=63x,x-39=6063x,x2-39x-3780=0,x1=84,x2=-45<0,
így x2 nem felel meg a feladat feltételeinek.
A fácánok létszáma 2003-ban 84 volt.
b) Az oszlopdiagram: