Cím: Megoldásvázlatok a 2005/4, sz. II. emelt szintű gyakorló feladataihoz
Szerző(k):  Besnyőné Titter Beáta 
Füzet: 2005/áprilisi melléklet, 63 - 67. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor
Hivatkozás(ok):2005/extra1: Emelt szintű gyakorló feladatsor II.

I. rész
 

1. Határozza meg azt a négy, egymás után következő páratlan számot, amelyek négyzeteinek összege 48-cal nagyobb, mint a közéjük eső páros számok négyzeteinek összege!
 
Megoldás. Legyen a négy egymást követő páratlan szám: a-3, a-1, a+1, a+3. Ekkor a feltételek szerint:
(a-3)2+(a-1)2+(a+1)2+(a+3)2=(a-2)2+a2+(a+2)2+48.
Ennek megoldása: a1=6, a2=-6. Tehát a keresett 4 páratlan szám: 3, 5, 7, 9, illetve -9, -7, -5, -3.
 
2. Az egységnyi oldalú ABCD négyzet AB, BC, CD és DA oldalán rendre vegye fel az E, F, G, H pontokat úgy, hogy AE=12, BF=13, CG=23 és DH=12 legyen. Számítsa ki az EFGH négyszög szögeit, kerületét, területét!
 
Megoldás. EFGH négyszög szimmetrikus trapéz, szögei 78,69, illetve 101,31. Oldalai a Pitagorasz-tétel alapján:
EH=22,FG=232,EF=HG=136.

A kerülete: k=72+21362,85 (egység).
A területe: t=1-18-2112-29=3572 (területegység).
 
3. Az 1, 2, 3 számjegyekből hatjegyű számokat képezünk.
a) Hányféle különböző számot kaphatunk?
b) Hány olyan szám van, amely mindhárom számjegyet legalább egyszer tartalmazza?
c) Mi a valószínűsége, hogy a kapott szám páros?
d) Mi a valószínűsége, hogy a kapott szám 3-mal osztható?
 
Megoldás. a) 36=729.
b) Nem jók a csupa azonos jegyből állók: 3 db, továbbá a pontosan kétféle számjegyet tartalmazók: 3(26-2) db. A keresettek száma: 36-3-3(26-2)=540.
c) Páros a szám, ha utolsó jegye 2. Ilyen szám 35 db van. A keresett valószínűség: 3536=13.
d) Az egyik jeggyel, pl. az utolsóval elérhető, hogy a szám osztható legyen 3-mal. Ha az első öt jegy összege osztható 3-mal, akkor 3-at írunk, ha 1 maradékot ad, akkor 2-t, ha 2-t ad, akkor pedig 1-et. Így 35 db 3-mal osztható szám van. A keresett valószínűség: 3536=13.
 
4. Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet:
logsinx(1-cos2x)=24-x2.

 
Megoldás. Az egyenlet akkor értelmezhető, ha
sinx>0,sinx1,1-cos2x=sin2x>0és4-x20.
Ezek akkor teljesülnek, ha x]0;2]/{π2}. Ekkor az egyenlet ekvivalens a 2=24-x2 egyenlettel, melynek megoldása: x1=3, x2=-3. Az értelmezési tartomány miatt az egyenlet megoldása: x=3.
 

II. rész
 

5. Péter 1000 kötetes könyvtára magyar, angol és német nyelvű könyvekből áll. A könyvek p%-a magyar nyelvű, az idegen nyelvű könyvek p%-a angol nyelvű, német nyelvű könyve mindössze 10 db van. Határozza meg a magyar és az angol nyelvű könyvek számát!
 
Megoldás. Legyen a az angol, m a magyar nyelvű könyvek száma. Ekkor
a+m=990,1000p100=més(a+10)p100=a.
Ezekből rendezéssel kapjuk a következőt: m2-2000m+990000=0, ennek a megoldása 1100, illetve 900. A feladat szövege alapján csak a 900 a megfelelő. Így 900 magyar és 90 angol nyelvű könyv van a könyvtárban.
 
6. Legyen
f(x)=1-4xx+1xx+1-11-x-2xx2-1.

a) Mi a fenti kifejezés értelmezési tartománya?
b) Hozza a kifejezést a lehető legegyszerűbb alakra!
c) Hány rácsponton halad át az f(x) függvény grafikonja?
 
Megoldás. a) xR\{-1;1}.
b) f(x)=1-3xx-1.
c) f(x)=1-3xx-1=-3(x-1)-2x-1=-3-2x-1.
Ennek a képe egy hiperbola, mely akkor megy keresztül rácsponton, ha x egész és x-1 osztója a 2-nek, azaz x-1=-2;-1;1;2, vagyis x=-1;0;2;3. Az f grafikonja tehát négy rácsponton halad át: (-1;-2), (0;-1), (2;-5), (3;-4).
 
7. Egy szobor két egymásra rakott gömbből áll, ahol a felső gömb sugara fele az alsó gömb sugarának, a szobor magassága 3 méter. A tél viszontagságai ellen védeni akarták a szobrot, ezért pályázatot írtak ki ,,védőruha'' készítésére. Két pályamunka érkezett, az egyik négyzet alapú csonkagúla, a másik csonkakúp alakú védőruhát javasolt. Mindkettő palástja érinti a két gömböt és a fedőlapja a kisebbik gömböt (alaplapja egyiknek sincs). A csonkakúp alakú terv fajlagos költsége 12000Ft/m2, a csonkagúláé 10000Ft/m2. Melyik pályamunka kivitelezése lenne olcsóbb?
 
Megoldás. Tekintsük a gömbök középpontját tartalmazó síkmetszetet (a gúla esetén ez a sík felezze az alap és fedőlap két szemközti oldalát). Jelölje r a kisebbik gömb sugarát. Ekkor d=9r2-r2=22r. Legyen AF=FB=x, illetve DE=EC=y, ekkor AD=x+d+y. Jelölje a két gömb középpontját O1 és O2.
Megoldás. Mivel AFO1O2ED, azért 2ry=xr, vagyis xy=2r2.
 
 

Az AGD derékszögű háromszögben a Pitagorasz-tétel szerint:
(x+d+y)2=(x-y)2+(6r)2.
Ezek alapján kapjuk, hogy x=2r2, y=r22.
Mivel a szobor magassága 2r+4r=3, így r=0,5.
Írjuk fel mindkét esetre a meghatározott adatokkal a felszínt.
Acskúp=πy2+π(x+y)(x+y+d)=234π18,06(m2),
Acsgúla  =(2y)2+ 4(2x+2y)(x+y+d)2=23 
(m2).  

A csonkakúp-terv megvalósítása 18,0612000=216720 Ft, a csonkagúla-tervé pedig 2310000=230000 Ft lenne, tehát a csonkakúp-javaslat kivitelezése olcsóbb.
 
8. Egy logisztikai központba 24 órás időtartamon belül véletlen időpontban két kamion érkezik. Az előbb érkezőből rögtön megkezdik a kirakodást, mely az egyiken 1 órát, a másikon 2 órát vesz igénybe. Ha a második kamion akkor érkezik, amikor a másikon még rakodnak, úgy várakoznia kell a rakodás befejezéséig. Mi a valószínűsége annak, hogy valamelyik kamionnak várakoznia kell a rakodásra?
 
Megoldás. Jelölje x az 1 óra alatt kipakolható kamion érkezési idejét, y pedig a másikét, ahol 0x24, 0y24. Ekkor a kamionok érkezését koordinátarendszerben szemléltethetjük az (x;y) koordinátájú pontokkal.
 
 

Ha x<y, akkor a két kamion találkozásának a feltétele, hogy y<x+1, ha x>y, akkor y+2>x. A jó pontok a szürke részben találhatók. Így a keresett valószínűség:
2424-122323-12222224240,12.

 
9. Legyen egy sorozat n-edik eleme an=2(2n+1)(2n+3), ahol nN+.
a) Állapítsa meg b és c értékét úgy, hogy minden n-re an=b2n+1-c2n+3 legyen!
b) Számítsa ki az első 2005 tag összegének ötödik tizedesjegyét!
 
Megoldás.
an=2(2n+1)(2n+3)=b2n+1-c2n+3=2n(b-c)+3b-c(2n+1)(2n+3),a)
ez minden n-re akkor teljesül, ha b=c és 3b-c=2, azaz b=1 és c=1.

S2005=13-15+15-17+...+14011-14013=13-14013=(*)=401012039=0,333084143....
Tehát az 5. tizedesjegy a 8.