A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész 1. Határozza meg azt a négy, egymás után következő páratlan számot, amelyek négyzeteinek összege -cal nagyobb, mint a közéjük eső páros számok négyzeteinek összege!
Megoldás. Legyen a négy egymást követő páratlan szám: , , , . Ekkor a feltételek szerint: | | Ennek megoldása: , . Tehát a keresett 4 páratlan szám: 3, 5, 7, 9, illetve , , , .
2. Az egységnyi oldalú négyzet , , és oldalán rendre vegye fel az , , , pontokat úgy, hogy , , és legyen. Számítsa ki az négyszög szögeit, kerületét, területét!
Megoldás. négyszög szimmetrikus trapéz, szögei , illetve . Oldalai a Pitagorasz-tétel alapján: A kerülete: (egység). A területe: (területegység).
3. Az , , számjegyekből hatjegyű számokat képezünk. Hányféle különböző számot kaphatunk? Hány olyan szám van, amely mindhárom számjegyet legalább egyszer tartalmazza? Mi a valószínűsége, hogy a kapott szám páros? Mi a valószínűsége, hogy a kapott szám -mal osztható?
Megoldás. . Nem jók a csupa azonos jegyből állók: 3 db, továbbá a pontosan kétféle számjegyet tartalmazók: db. A keresettek száma: . Páros a szám, ha utolsó jegye 2. Ilyen szám db van. A keresett valószínűség: . Az egyik jeggyel, pl. az utolsóval elérhető, hogy a szám osztható legyen 3-mal. Ha az első öt jegy összege osztható 3-mal, akkor 3-at írunk, ha 1 maradékot ad, akkor 2-t, ha 2-t ad, akkor pedig 1-et. Így db 3-mal osztható szám van. A keresett valószínűség: .
4. Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet:
Megoldás. Az egyenlet akkor értelmezhető, ha | | Ezek akkor teljesülnek, ha . Ekkor az egyenlet ekvivalens a egyenlettel, melynek megoldása: , . Az értelmezési tartomány miatt az egyenlet megoldása: .
II. rész 5. Péter 1000 kötetes könyvtára magyar, angol és német nyelvű könyvekből áll. A könyvek -a magyar nyelvű, az idegen nyelvű könyvek -a angol nyelvű, német nyelvű könyve mindössze 10 db van. Határozza meg a magyar és az angol nyelvű könyvek számát!
Megoldás. Legyen az angol, a magyar nyelvű könyvek száma. Ekkor | | Ezekből rendezéssel kapjuk a következőt: , ennek a megoldása 1100, illetve 900. A feladat szövege alapján csak a 900 a megfelelő. Így 900 magyar és 90 angol nyelvű könyv van a könyvtárban.
6. Legyen | |
Mi a fenti kifejezés értelmezési tartománya? Hozza a kifejezést a lehető legegyszerűbb alakra! Hány rácsponton halad át az függvény grafikonja?
Megoldás. . . . Ennek a képe egy hiperbola, mely akkor megy keresztül rácsponton, ha egész és osztója a 2-nek, azaz , vagyis . Az grafikonja tehát négy rácsponton halad át: , , , .
7. Egy szobor két egymásra rakott gömbből áll, ahol a felső gömb sugara fele az alsó gömb sugarának, a szobor magassága 3 méter. A tél viszontagságai ellen védeni akarták a szobrot, ezért pályázatot írtak ki ,,védőruha'' készítésére. Két pályamunka érkezett, az egyik négyzet alapú csonkagúla, a másik csonkakúp alakú védőruhát javasolt. Mindkettő palástja érinti a két gömböt és a fedőlapja a kisebbik gömböt (alaplapja egyiknek sincs). A csonkakúp alakú terv fajlagos költsége , a csonkagúláé 10000Ft/m2. Melyik pályamunka kivitelezése lenne olcsóbb?
Megoldás. Tekintsük a gömbök középpontját tartalmazó síkmetszetet (a gúla esetén ez a sík felezze az alap és fedőlap két szemközti oldalát). Jelölje r a kisebbik gömb sugarát. Ekkor d=9r2-r2=22r. Legyen AF=FB=x, illetve DE=EC=y, ekkor AD=x+d+y. Jelölje a két gömb középpontját O1 és O2. Megoldás. Mivel AFO1∼O2ED, azért 2ry=xr, vagyis xy=2r2.
Az AGD derékszögű háromszögben a Pitagorasz-tétel szerint: Ezek alapján kapjuk, hogy x=2r2, y=r22. Mivel a szobor magassága 2r+4r=3, így r=0,5. Írjuk fel mindkét esetre a meghatározott adatokkal a felszínt.
Acskúp=πy2+π(x+y)(x+y+d)=234π≈18,06(m2), Acsgúla =(2y)2+ 4(2x+2y)(x+y+d)2=23 (m2).
A csonkakúp-terv megvalósítása 18,06⋅12000=216720 Ft, a csonkagúla-tervé pedig 23⋅10000=230000 Ft lenne, tehát a csonkakúp-javaslat kivitelezése olcsóbb.
8. Egy logisztikai központba 24 órás időtartamon belül véletlen időpontban két kamion érkezik. Az előbb érkezőből rögtön megkezdik a kirakodást, mely az egyiken 1 órát, a másikon 2 órát vesz igénybe. Ha a második kamion akkor érkezik, amikor a másikon még rakodnak, úgy várakoznia kell a rakodás befejezéséig. Mi a valószínűsége annak, hogy valamelyik kamionnak várakoznia kell a rakodásra?
Megoldás. Jelölje x az 1 óra alatt kipakolható kamion érkezési idejét, y pedig a másikét, ahol 0≤x≤24, 0≤y≤24. Ekkor a kamionok érkezését koordinátarendszerben szemléltethetjük az (x;y) koordinátájú pontokkal.
Ha x<y, akkor a két kamion találkozásának a feltétele, hogy y<x+1, ha x>y, akkor y+2>x. A jó pontok a szürke részben találhatók. Így a keresett valószínűség: | 24⋅24-12⋅23⋅23-12⋅22⋅2224⋅24≈0,12. |
9. Legyen egy sorozat n-edik eleme an=2(2n+1)(2n+3), ahol n∈N+. a) Állapítsa meg b és c értékét úgy, hogy minden n-re an=b2n+1-c2n+3 legyen! b) Számítsa ki az első 2005 tag összegének ötödik tizedesjegyét!
Megoldás. | an=2(2n+1)(2n+3)=b2n+1-c2n+3=2n(b-c)+3b-c(2n+1)(2n+3), | a) | ez minden n-re akkor teljesül, ha b=c és 3b-c=2, azaz b=1 és c=1.
S2005=13-15+15-17+...+14011-14013=13-14013=(*)=401012039=0,333084143....
Tehát az 5. tizedesjegy a 8. |