Cím:	Megoldásvázlatok a 2005/4, sz. II. emelt szintű gyakorló feladataihoz
Szerző(k):	Besnyőné Titter Beáta
Füzet:	2005/áprilisi melléklet, 63 - 67. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor
Hivatkozás(ok):	2005/extra1: Emelt szintű gyakorló feladatsor II.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész   1. Határozza meg azt a négy, egymás után következő páratlan számot, amelyek négyzeteinek összege $48$-cal nagyobb, mint a közéjük eső páros számok négyzeteinek összege!   Megoldás. Legyen a négy egymást követő páratlan szám: $a-3$, $a-1$, $a+1$, $a+3$. Ekkor a feltételek szerint: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(a-3\right)}^2+{\left(a-1\right)}^2+{\left(a+1\right)}^2+{\left(a+3\right)}^2={\left(a-2\right)}^2+a^2+{\left(a+2\right)}^2+48.}\end{array}$ Ennek megoldása: $a_1=6$, $a_2=-6$. Tehát a keresett 4 páratlan szám: 3, 5, 7, 9, illetve $-9$, $-7$, $-5$, $-3$.   2. Az egységnyi oldalú $ABCD$ négyzet $AB$, $BC$, $CD$ és $DA$ oldalán rendre vegye fel az $E$, $F$, $G$, $H$ pontokat úgy, hogy $AE=\frac{1}{2}$, $BF=\frac{1}{3}$, $CG=\frac{2}{3}$ és $DH=\frac{1}{2}$ legyen. Számítsa ki az $EFGH$ négyszög szögeit, kerületét, területét!   Megoldás. $EFGH$ négyszög szimmetrikus trapéz, szögei $78\mathrm{,}{69}^{\circ }$, illetve $101\mathrm{,}{31}^{\circ }$. Oldalai a Pitagorasz-tétel alapján: $\begin{array}{c}{\displaystyle EH=\frac{\sqrt[]{2}}{2}\mathrm{,}FG=\frac{2}{3}\sqrt[]{2}\mathrm{,}EF=HG=\frac{\sqrt[]{13}}{6}\mathrm{.}}\end{array}$ A kerülete: $k=\frac{7\sqrt[]{2}+2\sqrt[]{13}}{6}\approx 2\mathrm{,}85$ (egység). A területe: $t=1-\frac{1}{8}-2\cdot \frac{1}{12}-\frac{2}{9}=\frac{35}{72}$ (területegység).   3. Az $1$, $2$, $3$ számjegyekből hatjegyű számokat képezünk. $a)$ Hányféle különböző számot kaphatunk? $b)$ Hány olyan szám van, amely mindhárom számjegyet legalább egyszer tartalmazza? $c)$ Mi a valószínűsége, hogy a kapott szám páros? $d)$ Mi a valószínűsége, hogy a kapott szám $3$-mal osztható?   Megoldás. $a)$ $3^6=729$. $b)$ Nem jók a csupa azonos jegyből állók: 3 db, továbbá a pontosan kétféle számjegyet tartalmazók: $3\left(2^6-2\right)$ db. A keresettek száma: $3^6-3-3\left(2^6-2\right)=540$. $c)$ Páros a szám, ha utolsó jegye 2. Ilyen szám $3^5$ db van. A keresett valószínűség: $\frac{3^5}{3^6}=\frac{1}{3}$. $d)$ Az egyik jeggyel, pl. az utolsóval elérhető, hogy a szám osztható legyen 3-mal. Ha az első öt jegy összege osztható 3-mal, akkor 3-at írunk, ha 1 maradékot ad, akkor 2-t, ha 2-t ad, akkor pedig 1-et. Így $3^5$ db 3-mal osztható szám van. A keresett valószínűség: $\frac{3^5}{3^6}=\frac{1}{3}$.   4. Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{log}{}_{\text{sin}x}\left(1-\text{cos}{}^{2}x\right)=2^{\sqrt[]{4-x^2}}\mathrm{.}}\end{array}$   Megoldás. Az egyenlet akkor értelmezhető, ha $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{sin}x>\mathrm{0,}\text{sin}x\ne \mathrm{1,}1-\text{cos}{}^{2}x=\text{sin}{}^{2}x>0\text{és}4-x^2\ge 0.}\end{array}$ Ezek akkor teljesülnek, ha $x\in \left]0;2\right]/\left\{\frac{\pi }{2}\right\}$. Ekkor az egyenlet ekvivalens a $2=2^{\sqrt[]{4-x^2}}$ egyenlettel, melynek megoldása: $x_1=\sqrt[]{3}$, $x_2=-\sqrt[]{3}$. Az értelmezési tartomány miatt az egyenlet megoldása: $x=\sqrt[]{3}$.   II. rész   5. Péter 1000 kötetes könyvtára magyar, angol és német nyelvű könyvekből áll. A könyvek $p\%$-a magyar nyelvű, az idegen nyelvű könyvek $p\%$-a angol nyelvű, német nyelvű könyve mindössze 10 db van. Határozza meg a magyar és az angol nyelvű könyvek számát!   Megoldás. Legyen $a$ az angol, $m$ a magyar nyelvű könyvek száma. Ekkor $\begin{array}{c}{\displaystyle a+m=\mathrm{990,}1000\cdot \frac{p}{100}=m\text{és}\left(a+10\right)\frac{p}{100}=a\mathrm{.}}\end{array}$ Ezekből rendezéssel kapjuk a következőt: $m^2-2000m+990000=0$, ennek a megoldása 1100, illetve 900. A feladat szövege alapján csak a 900 a megfelelő. Így 900 magyar és 90 angol nyelvű könyv van a könyvtárban.   6. Legyen $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(x\right)=\frac{1-\frac{4x}{x+1}}{\frac{x}{x+1}-\frac{1}{1-x}-\frac{2x}{x^2-1}}\mathrm{.}}\end{array}$ $a)$ Mi a fenti kifejezés értelmezési tartománya? $b)$ Hozza a kifejezést a lehető legegyszerűbb alakra! $c)$ Hány rácsponton halad át az $f\left(x\right)$ függvény grafikonja?   Megoldás. $a)$ $x\in R\backslash \left\{-1;1\right\}$. $b)$ $f\left(x\right)=\frac{1-3x}{x-1}$. $c)$ $f\left(x\right)=\frac{1-3x}{x-1}=\frac{-3\left(x-1\right)-2}{x-1}=-3-\frac{2}{x-1}$. Ennek a képe egy hiperbola, mely akkor megy keresztül rácsponton, ha $x$ egész és $x-1$ osztója a 2-nek, azaz $x-1=-2;-1;1;2$, vagyis $x=-1;0;2;3$. Az $f$ grafikonja tehát négy rácsponton halad át: $\left(-1;-2\right)$, $\left(0;-1\right)$, $\left(2;-5\right)$, $\left(3;-4\right)$.   7. Egy szobor két egymásra rakott gömbből áll, ahol a felső gömb sugara fele az alsó gömb sugarának, a szobor magassága 3 méter. A tél viszontagságai ellen védeni akarták a szobrot, ezért pályázatot írtak ki ,,védőruha'' készítésére. Két pályamunka érkezett, az egyik négyzet alapú csonkagúla, a másik csonkakúp alakú védőruhát javasolt. Mindkettő palástja érinti a két gömböt és a fedőlapja a kisebbik gömböt (alaplapja egyiknek sincs). A csonkakúp alakú terv fajlagos költsége $12000\text{Ft/<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></math>}$, a csonkagúláé $10000\text{Ft/<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></math>}$. Melyik pályamunka kivitelezése lenne olcsóbb?   Megoldás. Tekintsük a gömbök középpontját tartalmazó síkmetszetet (a gúla esetén ez a sík felezze az alap és fedőlap két szemközti oldalát). Jelölje $r$ a kisebbik gömb sugarát. Ekkor $d=\sqrt[]{9r^2-r^2}=2\sqrt[]{2}r$. Legyen $AF=FB=x$, illetve $DE=EC=y$, ekkor $AD=x+d+y$. Jelölje a két gömb középpontját $O_1$ és $O_2$. Megoldás. Mivel $AF{O}_1\sim O_{2}ED$, azért $\frac{2r}{y}=\frac{x}{r}$, vagyis $xy=2r^2$.     Az $AGD$ derékszögű háromszögben a Pitagorasz-tétel szerint: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(x+d+y\right)}^2={\left(x-y\right)}^2+{\left(6r\right)}^2\mathrm{.}}\end{array}$ Ezek alapján kapjuk, hogy $x=2r\sqrt[]{2}$, $y=\frac{r\sqrt[]{2}}{2}$. Mivel a szobor magassága $2r+4r=3$, így $r=\mathrm{0,5}$. Írjuk fel mindkét esetre a meghatározott adatokkal a felszínt. A csonkakúp-terv megvalósítása $18\mathrm{,}06\cdot 12000=216720$ Ft, a csonkagúla-tervé pedig $23\cdot 10000=230000$ Ft lenne, tehát a csonkakúp-javaslat kivitelezése olcsóbb.   8. Egy logisztikai központba 24 órás időtartamon belül véletlen időpontban két kamion érkezik. Az előbb érkezőből rögtön megkezdik a kirakodást, mely az egyiken 1 órát, a másikon 2 órát vesz igénybe. Ha a második kamion akkor érkezik, amikor a másikon még rakodnak, úgy várakoznia kell a rakodás befejezéséig. Mi a valószínűsége annak, hogy valamelyik kamionnak várakoznia kell a rakodásra?   Megoldás. Jelölje $x$ az 1 óra alatt kipakolható kamion érkezési idejét, $y$ pedig a másikét, ahol $0\le x\le 24$, $0\le y\le 24$. Ekkor a kamionok érkezését koordinátarendszerben szemléltethetjük az $\left(x;y\right)$ koordinátájú pontokkal.     Ha $x<y$, akkor a két kamion találkozásának a feltétele, hogy $y<x+1$, ha $x>y$, akkor $y+2>x$. A jó pontok a szürke részben találhatók. Így a keresett valószínűség: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{24\cdot 24-\frac{1}{2}\cdot 23\cdot 23-\frac{1}{2}\cdot 22\cdot 22}{24\cdot 24}\approx 0\mathrm{,}12.}\end{array}$   9. Legyen egy sorozat $n$-edik eleme $a_n=\frac{2}{\left(2n+1\right)\left(2n+3\right)}$, ahol $n\in {\text{N}}^{+}$. $a)$ Állapítsa meg $b$ és $c$ értékét úgy, hogy minden $n$-re $a_n=\frac{b}{2n+1}-\frac{c}{2n+3}$ legyen! $b)$ Számítsa ki az első 2005 tag összegének ötödik tizedesjegyét!   Megoldás. $\begin{array}{c}{\displaystyle a_n=\frac{2}{\left(2n+1\right)\left(2n+3\right)}=\frac{b}{2n+1}-\frac{c}{2n+3}=\frac{2n\left(b-c\right)+3b-c}{\left(2n+1\right)\left(2n+3\right)}\mathrm{,}}\end{array}$ a) ez minden $n$-re akkor teljesül, ha $b=c$ és $3b-c=2$, azaz $b=1$ és $c=1$. ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle S_{2005}}& {\displaystyle =\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\text{...}+\frac{1}{4011}-\frac{1}{4013}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4013}=}\hfill & \text{(<mi>*</mi>)}\\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{4010}{12039}=0\mathrm{,}333084143\text{...}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Tehát az 5. tizedesjegy a 8.