A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. Jelöljük a két egyenlet közös bal oldalát -szel. Az addíció-tétel alkalmazásával | | ennek alapján (2) így alakul | | aminek nyilvánvalóan gyöke , azaz . (Elég lesz pl. a intervallumra szorítkoznunk, hiszen mindhárom tagnak periódusa, így összegüknek is.) -szel egyszerűsítve és a törteket a szokásos módon eltávolítva amiből (2) további gyökei | | ( esetében elegendő -ra kerekíteni, hiszen csak közelítő értékeket keresünk (2) gyökeire). II. Áttérve (1)-re, itt -re 5-ödfokú egyenletet kapnánk, emiatt szorulunk közelítő megoldás keresésére. Mivel a tangens-függvény mindenütt növekvő, (1) gyökeit mindenütt (2) gyökeinek kis növelésével keressük. 1. közelében tekintsük -ot: | | Mivel a tagok aránya jó közelítéssel , a többlet várhatóan eltűnik, ha az első tagot -del csökkentjük. -ből , és ekkor valóban . További finomítás a tangenstáblázat alapján nem lehetséges. 2. , viszont , vagyis -nyi növelés hatására -ben növekedés állt be. Számunkra csak növekedés szükséges, ezért az első közelítő értéket -nak csak részével növeljük: . 3. Az előzők szerint , viszont növeléssel , ezekből hasonlóan . 4. Az és értékekből további csökkentéssel . 5. Végül az és értékpárból . Mindezek szerint (1) gyökeinek közelítő értéke a intervallumban: | |
Somogyi Árpád (Budapest, Fazekas M. gyak. g. II. o. t.)
Megjegyzés. Az közelében levő gyök valamivel finomabban közelíthető meg, ha a tangensek táblázata helyett logaritmusuk táblázatát használjuk (,,''). Ugyanis az utóbbiból ‐ a mantissza 4 tizedesjegye alapján ‐ a tangens-függvénynek mindenütt 4 értékes számjegyét kaphatjuk vissza, és ez ‐ a felhasznált , , esetében érvényes karakterisztika: figyelembevételével ‐ azt jelenti, hogy a -értékekből az ötödik tizedes jegyet is felírhatjuk (legföljebb hibával). A -táblázatban közölt 4 tizedes jegy közül viszont a intervallumban csak 3 az értékes jegyek száma. (Ez ‐ a fölötti szögek tangense közlési módjával egybevetve ‐ kis következetlensége a táblázatnak.) A számítás a következő:
Így , a többlet 6-odrészét -ból levonva a közelítő értékkel próbálkozunk. Ennek logaritmusa , amiből (az új táblázatból alakban kapjuk; interpolálhatunk ugyanis mindkét táblázat alapján 2 jegyet is, mert a táblabeli különbség , ill tízezred, jóval nagyobb -nél). Így , , ezekből , , visszakeresve , , végül . (A számos ki- és visszakeresés, interpolálás miatt azonban az 5. tizedesben lehet eltérés; 7-jegyű táblázattal számolva .) |