Feladat: 1524. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Somogyi Árpád 
Füzet: 1968/február, 56 - 57. oldal  PDF file
Témakör(ök): Feladat, Trigonometrikus egyenletek, Numerikus módszerek, Trigonometriai azonosságok, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1967/március: 1524. matematika feladat

Keresnünk kell a
tg x +  tg 2x +  tg 3x=0,1(1)
egyenlet gyökeinek közelítő értékét. Járjunk el úgy, hogy előbb a
tg x +  tg 2x +  tg 3x=0(2)
egyenlet gyökeit állapítjuk meg, majd ennek megoldásait kis mértékben változtatva keressük eredeti egyenletünk gyökeinek közelítő értékét.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Jelöljük a két egyenlet közös bal oldalát f(x)-szel. Az addíció-tétel alkalmazásával

tg3x=tg(2x+x)=tg2x+tgx1-tg2xtgx=2tgx1-tg2x+tgx1-2tg2x1-tg2x=3tgx-tg3x1-3tg2x,
ennek alapján (2) így alakul
tgx+2tgx1-tg2x+tgx(3-tg2x)1-3tg2x=0,
aminek nyilvánvalóan gyöke tgx=0, azaz x1=0.  (Elég lesz pl. a -90<x<90 intervallumra szorítkoznunk, hiszen 180 mindhárom tagnak periódusa, így összegüknek is.) tgx-szel egyszerűsítve és a törteket a szokásos módon eltávolítva
2tg4x-7tg2x+3=0,
amiből (2) további gyökei
tg2x=0,5-bőlx2,3=±35,3,éstg2x=3-bólx4,5=±60
(x2,3 esetében elegendő 0,1-ra kerekíteni, hiszen csak közelítő értékeket keresünk (2) gyökeire).
 

II. Áttérve (1)-re, itt tgx-re 5-ödfokú egyenletet kapnánk, emiatt szorulunk közelítő megoldás keresésére. Mivel a tangens-függvény mindenütt növekvő, (1) gyökeit mindenütt (2) gyökeinek kis növelésével keressük.
 

1. x1=0 közelében tekintsük x*=1-ot:
f(1)=0,0175+0,0349+0,0524=0,1048>0,1.
Mivel a tagok aránya jó közelítéssel 1:2:3, a 0,0048 többlet várhatóan eltűnik, ha az első tagot 0,0048/6=0,0008-del csökkentjük. tgx=0,0167-ből x=0,956=057,3', és ekkor valóban f(0,956)=0,1002. További finomítás a tangenstáblázat alapján nem lehetséges.
 

2. f(35,3)=0,708+2,840-3,511=0,037=0,1-0,063, viszont f(35,4)= =0,711+2,872-3,442=0,1+0,041, vagyis 0,1-nyi növelés hatására f(x)-ben 0,104 növekedés állt be. Számunkra csak 0,063 növekedés szükséges, ezért az első közelítő értéket 0,1-nak csak 0,063/0,104=0,6 részével növeljük: x2=35,36.
 

3. Az előzők szerint f(-35,3)=-0,037=0,1-0,137, viszont 0,2 növeléssel f(-35,1)=-0,703-2,778+3,655=0,1+0,074, ezekből hasonlóan x3= =-35,17.
 

4. Az f(60,5)=0,1+0,029 és f(60,4)=0,1+0,003 értékekből további csökkentéssel x4=60,39.
 

5. Végül az f(-59,6)=0,1+0,006 és f(-59,7)=0,1-0,020 értékpárból x5=-59,62.
Mindezek szerint (1) gyökeinek közelítő értéke a -90<x<90 intervallumban:
-59,62,-35,17,0,956,35,36,60,39.

 Somogyi Árpád (Budapest, Fazekas M. gyak. g. II. o. t.)
 

Megjegyzés. Az x1=0 közelében levő gyök valamivel finomabban közelíthető meg, ha a tangensek táblázata helyett logaritmusuk táblázatát használjuk (,,lgtg''). Ugyanis az utóbbiból ‐ a mantissza 4 tizedesjegye alapján ‐ a tangens-függvénynek mindenütt 4 értékes számjegyét kaphatjuk vissza, és ez ‐ a felhasznált 1, 2, 3 esetében érvényes karakterisztika: 8-10=-2 figyelembevételével ‐ azt jelenti, hogy a tg-értékekből az ötödik tizedes jegyet is felírhatjuk (legföljebb ±1 hibával). A tg-táblázatban közölt 4 tizedes jegy közül viszont a (0,6,5,7) intervallumban csak 3 az értékes jegyek száma. (Ez ‐ a 45 fölötti szögek tangense közlési módjával egybevetve ‐ kis következetlensége a táblázatnak.)
A számítás a következő:
lgtg1=8,2419-10,tg1=0,01746(0,0175),lgtg2=0,5431-2,tg2=0,03492(0,0349),lgtg3=0,7194-2,tg3=0,05241(0,0524).

Így f(1)=0,1+0,00479, a többlet 6-odrészét tg1-ból levonva a tgx=0,01666 közelítő értékkel próbálkozunk. Ennek logaritmusa 8,2217-10, amiből x=0,9545 (az új táblázatból 057,28' alakban kapjuk; interpolálhatunk ugyanis mindkét táblázat alapján 2 jegyet is, mert a táblabeli különbség 45, ill 76 tízezred, jóval nagyobb 10-nél). Így 2x=1,909, 3x=2,8635, ezekből lgtg2x=8,5228-10, lgtg3x=8,6991-10, visszakeresve tg2x=0,03333, tg3x=0,05001, végül f(0,9545)=0,10000. (A számos ki- és visszakeresés, interpolálás miatt azonban az 5. tizedesben lehet eltérés; 7-jegyű táblázattal számolva tgx=0,0166590.)