Feladat: 5016. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Vaszary Tamás 
Füzet: 2018/szeptember, 375 - 376. oldal  PDF file
Témakör(ök): Feladat, Erők forgatónyomatéka, Tapadó súrlódás
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2018/március: 5016. fizika feladat

Egy homogén tömegeloszlású rúd fekszik a vízszintes asztallapon. A rudat az egyik végén ható, a rúdra mindenkor merőleges erővel lassan függőleges helyzetbe akarjuk hozni. Legalább mekkora a súrlódási együttható a rúd és az asztallap között, ha a rúd a felállítás közben nem csúszik meg?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tekintsük a lassan (gyorsulásmentesen) mozgatott rúd azon állapotát, amikor α szöget zár be a vízszintessel (0α90). Az  hosszú rúdra négyféle erő hat: a rúd megemelt végénél a rúdra merőleges F erő, a rúd felezőpontjánál függőlegesen lefelé ható G nehézségi erő, a rúd alsó végénél pedig a függőlegesen felfelé ható N nyomóerő és a vízszintes S súrlódási erő (lásd az ábrát).

 
 

Az erők és a forgatónyomatékok egyensúlyának feltétele:
Fsinα=S,(1)Fcosα+N=G,(2)F=G2cosα.(3)
Ezekből megkaphatjuk, hogy
F=G2cosα,(4)S=G2sinαcosα,(5)
N=(1-cos2α2)G.(6)
Annak a feltétele, hogy a rúd az α szögű helyzetben nem csúszik meg:
μ0S(α)N(α)=sinαcosα2-cos2αf(α),(7)
ahol μ0 a rúd és az asztallap közötti tapadó súrlódási együttható.
A rúd akkor állítható fel a megadott módon, ha a (7) egyenlőtlenség tetszőleges 0α90 szögnél teljesül, vagyis μ0 nem kisebb, mint az f(α) függvény maximális értéke.
f(α) legnagyobb értékét numerikus módszerekkel (táblázat készítésével), differenciálszámítással vagy a WolframAlpha program felhasználásával kaphatjuk meg, de elemi módszerekkel is célhoz érhetünk. Ha sinα-t és cosα-t kifejezzük tgα-val, a vizsgálandó függvény reciprokára a következő kifejezést kapjuk:
1f(α)=1tgα+2tgα.
Alkalmazva a számtani-mértani középre vonatkozó egyenlőtlenséget:
1f(α)21tgα2tgα=8.
Ezek szerint f(α) legnagyobb értéke, vagyis a csúszásmentes emeléshez szükséges legkisebb súrlódási együttható nagysága:
μ0kritikus=180,35.
 

 Vaszary Tamás (Győr, Kazinczy F. Gimn., 10. évf.)
  dolgozata alapján