Feladat: B.4848 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Baran Zsuzsanna ,  Borbényi Márton ,  Gáspár Attila ,  Hoffmann Balázs ,  Imolay András ,  Janzer Orsolya Lili ,  Kerekes Anna ,  Kocsis Júlia ,  Nagy Nándor ,  Schrettner Jakab ,  Simon Dániel Gábor ,  Tóth Viktor ,  Weisz Máté 
Füzet: 2018/február, 89. oldal  PDF file
Témakör(ök): Feladat, Egyéb poliéderek, Paralelogrammák, Konstruktív megoldási módszer
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2017/január: B.4848

Keressük meg az összes olyan P konvex poliédert, aminek a belsejében létezik egy olyan O pont, hogy P minden O-ra illeszkedő síkkal vett metszete O középpontú paralelogramma.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelölje XYZ az X, Y és Z pontok által feszített síkot.
Először is belátjuk, hogy P középpontosan szimmetrikus O-ra. Legyen X tetszőleges pont P-ben, és tekintsünk egy OX-re illeszkedő S síkot. A PS síkmetszet a feltétel szerint O középpontú paralelogramma, így tartalmazza X-nek O-ra vonatkozó X' tükörképét. Ebből X'P is következik, ami igazolja a középpontos szimmetriát.
Legyen P egy lapjának három egymást követő csúcsa (ilyen sorrendben) A, B és C, az AB és BC élek felezőpontjai X és Y. A pontok O-ra vonatkozó tükörképei értelemszerűen A', B', C', X' és Y'.
Az XY egyenes P határát pontosan az XY szakaszban metszi, ezért OXYP éppen az XYX'Y' paralelogramma, vagyis az XY' szakasz P határára illeszkedik.
Másrészről az A, B, B' és C' pontok nem egy síkba esnek. Valóban, ha C' illeszkedik az ABB'-ra, akkor C'ABB'A'B'C'=A'B', ami nem lehet. Így viszont az XY' szakasz az ABB'C' tetraéder két kitérő élének felezőpontját összekötő szakasz, amely a tetraéder, és így egyúttal P belsejében halad. Ezzel ellentmondásra jutottunk, így nem létezik ilyen P poliéder.

 

 Imolay András (Bp., Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 11. évf. )
 dolgozata alapján