Jelölje $\langle XYZ\rangle$ az $X$, $Y$ és $Z$ pontok által feszített síkot.
Először is belátjuk, hogy $P$ középpontosan szimmetrikus $O$-ra. Legyen $X$ tetszőleges pont $P$-ben, és tekintsünk egy $OX$-re illeszkedő $S$ síkot. A $P\cap S$ síkmetszet a feltétel szerint $O$ középpontú paralelogramma, így tartalmazza $X$-nek $O$-ra vonatkozó $X\text{'}$ tükörképét. Ebből $X\text{'}\in P$ is következik, ami igazolja a középpontos szimmetriát.
Legyen $P$ egy lapjának három egymást követő csúcsa (ilyen sorrendben) $A$, $B$ és $C$, az $AB$ és $BC$ élek felezőpontjai $X$ és $Y$. A pontok $O$-ra vonatkozó tükörképei értelemszerűen $A\text{'}$, $B\text{'}$, $C\text{'}$, $X\text{'}$ és $Y\text{'}$.
Az $XY$ egyenes $P$ határát pontosan az $XY$ szakaszban metszi, ezért $\langle OXY\rangle \cap P$ éppen az $XYX\text{'}Y\text{'}$ paralelogramma, vagyis az $XY\text{'}$ szakasz $P$ határára illeszkedik.
Másrészről az $A$, $B$, $B\text{'}$ és $C\text{'}$ pontok nem egy síkba esnek. Valóban, ha $C\text{'}$ illeszkedik az $\langle ABB\text{'}\rangle$-ra, akkor $C\text{'}\in \langle ABB\text{'}\rangle \cap \langle A\text{'}B\text{'}C\text{'}\rangle =A\text{'}B\text{'}$, ami nem lehet. Így viszont az $XY\text{'}$ szakasz az $ABB\text{'}C\text{'}$ tetraéder két kitérő élének felezőpontját összekötő szakasz, amely a tetraéder, és így egyúttal $P$ belsejében halad. Ezzel ellentmondásra jutottunk, így nem létezik ilyen $P$ poliéder.