Feladat: B.4821 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Matolcsi Dávid 
Füzet: 2017/április, 220 - 221. oldal  PDF file
Témakör(ök): Feladat, Magasabb fokú kongruenciák, Legnagyobb közös osztó
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2016/október: B.4821

Van-e olyan a1 egész szám, amelyre x2+3 és (x+a)2+3 relatív prímek bármely pozitív egész x esetén?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
Megoldás. Nincs ilyen szám: bármely a-ra létezik olyan x, amelyre a két érték nem relatív prím.
A fenti állítás igazolásához elég a páratlan a-kat vizsgálni, hiszen páros a esetén minden páratlan x-re x2+3 és (x+a)2+3 egyaránt páros, így nem relatív prímek egymáshoz.
Megmutatom, hogy bármely páratlan a-ra x=a2-a+122 esetén a két kérdéses érték nem relatív prím. (a2-a+122 mindig pozitív egész, mert a2-a, és így a2-a+12 is mindig páros és értelemszerűen pozitív.) Azonos átalakításokkal:
2x=a2-a+12,2x+a=a2+12,2ax+a2=a3+12a,2a2x-12a=2a2x+a3-(a3+12a)=a(2ax+a2)-(2ax+a2)==(a-1)(2ax+a2),a2x-6a=a-12(2ax+a2),2a(x2+3)=2ax2+6a=2ax2+a2x-(a2x-6a)==x(2ax+a2)-a-12(2ax+a2)=(x-a-12)(2ax+a2),
így
x2+3=x-a-122(2x+a).

Mivel a páratlan, 4-gyel osztva 1-et vagy 3-at adhat maradékul. Az előbbi esetben x=a(a-1)+122 páros, ahogy a-12 is. Így x-a-12 páros, tehát x-a-122 egész. Az utóbbi esetben pedig x=a(a-1)+122 páratlan, ahogy a-12 is. Így x-a-12 páros, tehát x-a-122 akkor is egész. Így (2x+a) mindig osztója x2+3=x-a-122(2x+a)-nak.
Hasonlóan
(x+a)2+3=x2+3+2ax+a2=x-a-122(2x+a)+a(2x+a)==(x-a-122+a)(2x+a);
ez szintén osztható (2x+a)-val, ami 1-nél nagyobb egész. Tehát x2+3 és (x+a)2+3 valóban nem relatív prímek.