Feladat:	B.4821	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Matolcsi Dávid
Füzet:	2017/április, 220 - 221. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Magasabb fokú kongruenciák, Legnagyobb közös osztó
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2016/október: B.4821

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Nincs ilyen szám: bármely $a$-ra létezik olyan $x$, amelyre a két érték nem relatív prím. A fenti állítás igazolásához elég a páratlan $a$-kat vizsgálni, hiszen páros $a$ esetén minden páratlan $x$-re $x^2+3$ és ${\left(x+a\right)}^2+3$ egyaránt páros, így nem relatív prímek egymáshoz. Megmutatom, hogy bármely páratlan $a$-ra $x=\frac{a^2-a+12}{2}$ esetén a két kérdéses érték nem relatív prím. ($\frac{a^2-a+12}{2}$ mindig pozitív egész, mert $a^2-a$, és így $a^2-a+12$ is mindig páros és értelemszerűen pozitív.) Azonos átalakításokkal: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle 2x}& {\displaystyle =a^2-a+\mathrm{12,}2x+a=a^2+\mathrm{12,}2ax+a^2=a^3+12a\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 2a^{2}x-12a}& {\displaystyle =2a^{2}x+a^3-\left(a^3+12a\right)=a\left(2ax+a^2\right)-\left(2ax+a^2\right)=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =\left(a-1\right)\left(2ax+a^2\right)\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle a^{2}x-6a}& {\displaystyle =\frac{a-1}{2}\left(2ax+a^2\right)\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 2a\left(x^2+3\right)}& {\displaystyle =2a{x}^2+6a=2a{x}^2+a^{2}x-\left(a^{2}x-6a\right)=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =x\left(2ax+a^2\right)-\frac{a-1}{2}\left(2ax+a^2\right)=\left(x-\frac{a-1}{2}\right)\left(2ax+a^2\right)\mathrm{,}}\hfill \end{array}}$ így $\begin{array}{c}{\displaystyle x^2+3=\frac{x-\frac{a-1}{2}}{2}\left(2x+a\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Mivel $a$ páratlan, 4-gyel osztva 1-et vagy 3-at adhat maradékul. Az előbbi esetben $x=\frac{a\left(a-1\right)+12}{2}$ páros, ahogy $\frac{a-1}{2}$ is. Így $x-\frac{a-1}{2}$ páros, tehát $\frac{x-\frac{a-1}{2}}{2}$ egész. Az utóbbi esetben pedig $x=\frac{a\left(a-1\right)+12}{2}$ páratlan, ahogy $\frac{a-1}{2}$ is. Így $x-\frac{a-1}{2}$ páros, tehát $\frac{x-\frac{a-1}{2}}{2}$ akkor is egész. Így $\left(2x+a\right)$ mindig osztója $x^2+3=\frac{x-\frac{a-1}{2}}{2}\left(2x+a\right)$-nak. Hasonlóan ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle {\left(x+a\right)}^2+3}& {\displaystyle =x^2+3+2ax+a^2=\frac{x-\frac{a-1}{2}}{2}\left(2x+a\right)+a\left(2x+a\right)=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =\left(\frac{x-\frac{a-1}{2}}{2}+a\right)\left(2x+a\right);}\hfill \end{array}}$ ez szintén osztható $\left(2x+a\right)$-val, ami 1-nél nagyobb egész. Tehát $x^2+3$ és ${\left(x+a\right)}^2+3$ valóban nem relatív prímek.