Feladat: B.4819 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Török Emese 
Füzet: 2017/április, 219 - 220. oldal  PDF file
Témakör(ök): Feladat, Trigonometrikus egyenlőtlenségek, Exponenciális függvények, Számtani-mértani egyenlőtlenségek
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2016/október: B.4819

Bizonyítsuk be, hogy ha 0<x<π2, akkor
(tgx)sinx+(ctgx)cosx2.
Mely x-ekre teljesül egyenlőség?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Mivel 0<x<π2, az egyenlőtlenség szögfüggvényeit felírhatjuk az ABC derékszögű háromszög x hegyesszögének szögfüggvényeiként:

sinx=ac,cosx=bc,tgx=ab,ctgx=ba.
Ezek felhasználásával a bizonyítandó egyenlőtlenség:
(ab)ac+(ba)bc2.
Bármely p, q pozitív valós számra igaz a számtani és mértani középre vonatkozó egyenlőtlenség:
p+q2pq.
A háromszög oldalai pozitív számok, így (ab)ac és (ba)bc is azok.

 
 

Alkalmazzuk a számtani és mértani középre vonatkozó egyenlőtlenséget ezekre:
(ab)ac+(ba)bc2(ab)ac(ba)bc.
A négyzetgyökjel alatti kifejezést átalakítva:
(ab)ac(ba)bc=(ab)ac(ab)-bc=(ab)a-bc.
Ezzel
(ab)ac+(ba)bc2(ab)a-bc.
Ha a>b, akkor ab>1 és a-bc>0, így
(ab)a-bc>1,tehát(ab)ac+(ba)bc>2.

Ha a<b, akkor
(ab)a-bc=(ba)-a-bc=(ba)b-ac.

Mivel ba>1 és b-ac>0, emiatt
(ba)b-ac>1,tehát(ab)ac+(ba)bc>2.

Ha a=b, akkor x=45, ezért tgx=ctgx=1, tehát 1ac+1bc=2.