Feladat: B.4802 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Andó Angelika ,  Borbényi Márton ,  Cseh Kristóf ,  Gáspár Attila ,  Horváth András János ,  Imolay András ,  Klász Viktória ,  Kocsis Júlia ,  Kővári Péter Viktor ,  Lajkó Kálmán ,  Matolcsi Dávid ,  Nagy Dávid Paszkál ,  Sudár Ákos ,  Tóth Viktor ,  Török Zsombor Áron ,  Váli Benedek ,  Várkonyi Dorka ,  Zólomy Kristóf 
Füzet: 2016/december, 540 - 542. oldal  PDF file
Témakör(ök): Feladat, Kúpok, Szabályos sokszögek geometriája, Síkgeometriai számítások trigonometriával
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2016/május: B.4802

A K egyenes körkúp beírt gömbje G. Az r sugarú g1,g2,...,gn gömbök középpontjai 2r oldalú szabályos n-szöget alkotnak. Továbbá a gi gömbök mindegyike érinti K palástját és alaplapját, valamint G-t is. Milyen értékeket vehet föl n?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen K csúcsa C, a G és a gi gömbök középpontja pedig O, illetve Oi (i=1,2,...,n). Vegyük K metszetét a COO1 síkkal. Ez egy olyan egyenlőszárú ABC háromszög, mely beírt körének középpontja O és sugara R, továbbá az O1 középpontú r sugarú kör érinti az AB alapot, az AC szárat és a beírt kört is (1. ábra). Legyen az O1-en átmenő, AB-vel párhuzamos egyenes és a CO egyenes metszéspontja Q, az O1Q szakasz hosszát pedig jelöljük d-vel.


 

1. ábra
 

Ha CAB=2α, akkor OAB=α, mert a beírt kör középpontja rajta van a háromszög szögfelezőin. Mivel O1Q párhuzamos AB-vel, ezért Q és O1 ugyanolyan távolságra van az AB egyenestől, amiből kapjuk, hogy OQ=R-r. Tudjuk, hogy egymást kívülről érintő körök esetén a két körközéppont távolsága megegyezik a körök sugarainak összegével, ezért OO1=R+r. Az OO1Q derékszögű háromszögből tehát egyrészt kapjuk, hogy
sinα=R-rR+r,
amiből (mivel α<90, ezért sem itt, sem a későbbiekben nem áll nevezőben 0)
R=r1+sinα1-sinα,azazR+r=2r1-sinα,
majd ezt felhasználva:
O1Q=d=(R+r)cosα=2rcosα1-sinα.
A kétszeres szögekre vonatkozó trigonometrikus képleteket alkalmazva:
2rd=1-sinαcosα=(cosα2-sinα2)2cos2α2-sin2α2=cosα2-sinα2cosα2+sinα2=1-tgα21+tgα2=-1+21+tgα2.
 

A g1,g2,...,gn gömbök középpontjai által alkotott 2r oldalú O1O2...On szabályos n-szög síkja a kúp alapjával párhuzamos, attól r távolságra lévő sík. Mivel ebben a síkban Q is benne van és a gömbök szimmetrikus elhelyezkedése miatt QOi=d minden i=1,2,...,n esetén teljesül, ezért Q a szabályos sokszög köré írt kör középpontja. Legyen φ=180n. Mivel a QO1O2 háromszög egyenlőszárú és szárszöge 2φ (2. ábra), ezért
sinφ=O1O22O1Q=rd=12(-1+21+tgα2).(1)
Az ABC háromszög alapon fekvő szögei 2α nagyságúak, ezért 0<α<45. Tudjuk, hogy az xtgx függvény a [0,π4] intervallumon szigorúan monoton nő, ezért az x-1+21+tgx függvény ugyanitt szigorúan monoton csökken. Tehát (1)-ből azt kapjuk, hogy
12(-1+21+tg452)<sinφ<12(-1+21+tg0)=12.(2)



 

2. ábra
 

A bal oldalon szereplő tg452 értéket a 3. ábrán látható 1 befogójú egyenlőszárú derékszögű háromszöget felhasználva számoljuk ki. Mivel AB=BC=1, ezért AC=2. Ha az A-ból induló szögfelező a BC oldalt D-ben metszi, akkor egyrészt BD=tg452, másrészt a szögfelezőtétel szerint BD/DC=AB/AC, ebből pedig a BD+DC=BC összefüggést is figyelembe véve kapjuk, hogy
tg452=BD=ABBCAB+AC=11+2=2-1.
Ezért a (2) egyenlőtlenség bal oldalát átalakítva
sinφ>12(-1+21+(2-1))=2-12(3)
adódik. Tudjuk, hogy az xsinx függvény is szigorúan monoton nő a [0,π2] intervallumon, ezért a (2) és (3) egyenlőtlenségekből φ=180n-re az alábbi korlátok adódnak:
arcsin2-12<180n<arcsin12,azaz11,95<180n<30,
vagyis 6<n<16.


 

3. ábra
 

Megmutatjuk, hogy az n=7,8,...,15 értékekre léteznek is megfelelő kúpok. Az (1) egyenletből mindegyik n értékhez meghatározhatjuk a hozzá tartozó αn szöget, ami az n-re vonatkozó egyenlőtlenségek miatt 0-nál nagyobb, de 45-nál kisebb lesz. Ezután pedig r ismeretében R is, s így a kúp is meghatározható.
 
Megjegyzés. Könnyen meggondolható, hogy n=6 esetén számolásunkból R=r adódik, azaz ebben az esetben a R sugarú gömb éppen ,,elfér'' a 6 db r sugarú gömb közt, nem magasodik ki közülük, ezért nem kapunk megfelelő kúpot. Ha pedig n=16, akkor a R sugarú gömb ,,túlnyúlik'' a kis gömböket tartalmazó, középpontjaik síkjára merőleges alkotójú legszűkebb egyenes körhengeren, ezért nem kapunk megfelelő kúpot.