|
Feladat: |
B.4802 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Andó Angelika , Borbényi Márton , Cseh Kristóf , Gáspár Attila , Horváth András János , Imolay András , Klász Viktória , Kocsis Júlia , Kővári Péter Viktor , Lajkó Kálmán , Matolcsi Dávid , Nagy Dávid Paszkál , Sudár Ákos , Tóth Viktor , Török Zsombor Áron , Váli Benedek , Várkonyi Dorka , Zólomy Kristóf |
Füzet: |
2016/december,
540 - 542. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Feladat, Kúpok, Szabályos sokszögek geometriája, Síkgeometriai számítások trigonometriával |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 2016/május: B.4802 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Legyen csúcsa , a és a gömbök középpontja pedig , illetve ). Vegyük metszetét a síkkal. Ez egy olyan egyenlőszárú háromszög, mely beírt körének középpontja és sugara , továbbá az középpontú sugarú kör érinti az alapot, az szárat és a beírt kört is (1. ábra). Legyen az -en átmenő, -vel párhuzamos egyenes és a egyenes metszéspontja , az szakasz hosszát pedig jelöljük -vel.
1. ábra Ha , akkor , mert a beírt kör középpontja rajta van a háromszög szögfelezőin. Mivel párhuzamos -vel, ezért és ugyanolyan távolságra van az egyenestől, amiből kapjuk, hogy . Tudjuk, hogy egymást kívülről érintő körök esetén a két körközéppont távolsága megegyezik a körök sugarainak összegével, ezért . Az derékszögű háromszögből tehát egyrészt kapjuk, hogy amiből (mivel , ezért sem itt, sem a későbbiekben nem áll nevezőben 0) | | majd ezt felhasználva: | | A kétszeres szögekre vonatkozó trigonometrikus képleteket alkalmazva: | | A gömbök középpontjai által alkotott oldalú szabályos -szög síkja a kúp alapjával párhuzamos, attól távolságra lévő sík. Mivel ebben a síkban is benne van és a gömbök szimmetrikus elhelyezkedése miatt minden esetén teljesül, ezért a szabályos sokszög köré írt kör középpontja. Legyen . Mivel a háromszög egyenlőszárú és szárszöge (2. ábra), ezért | | (1) | Az háromszög alapon fekvő szögei nagyságúak, ezért . Tudjuk, hogy az függvény a intervallumon szigorúan monoton nő, ezért az függvény ugyanitt szigorúan monoton csökken. Tehát (1)-ből azt kapjuk, hogy | | (2) |
2. ábra A bal oldalon szereplő értéket a 3. ábrán látható 1 befogójú egyenlőszárú derékszögű háromszöget felhasználva számoljuk ki. Mivel , ezért . Ha az -ból induló szögfelező a oldalt -ben metszi, akkor egyrészt , másrészt a szögfelezőtétel szerint , ebből pedig a összefüggést is figyelembe véve kapjuk, hogy | | Ezért a (2) egyenlőtlenség bal oldalát átalakítva | | (3) | adódik. Tudjuk, hogy az függvény is szigorúan monoton nő a intervallumon, ezért a (2) és (3) egyenlőtlenségekből -re az alábbi korlátok adódnak: | | vagyis .
3. ábra Megmutatjuk, hogy az értékekre léteznek is megfelelő kúpok. Az (1) egyenletből mindegyik értékhez meghatározhatjuk a hozzá tartozó szöget, ami az -re vonatkozó egyenlőtlenségek miatt -nál nagyobb, de -nál kisebb lesz. Ezután pedig ismeretében is, s így a kúp is meghatározható.
Megjegyzés. Könnyen meggondolható, hogy esetén számolásunkból adódik, azaz ebben az esetben a sugarú gömb éppen ,,elfér'' a 6 db sugarú gömb közt, nem magasodik ki közülük, ezért nem kapunk megfelelő kúpot. Ha pedig , akkor a sugarú gömb ,,túlnyúlik'' a kis gömböket tartalmazó, középpontjaik síkjára merőleges alkotójú legszűkebb egyenes körhengeren, ezért nem kapunk megfelelő kúpot.
|
|