Feladat: B.4768 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Wiandt Péter 
Füzet: 2016/október, 407 - 408. oldal  PDF file
Témakör(ök): Feladat, Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Oszthatóság
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2016/február: B.4768

Határozzuk meg azokat a törteket, melyeknek számlálója és nevezője is kétjegyű szám, a számláló második számjegye pedig megegyezik a nevező első számjegyével, továbbá a tört értéke nem változik, ha a két megegyező számjegyet elhagyjuk.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
Megoldás. A törtet felírhatjuk így:
xy¯yz¯=10x+y10y+z=xz.
Mivel a szám kétjegyű, így x és y nem lehet 0, valamint z sem, mivel egy tört nevezője nem lehet 0. Így 1x,y,z9. Alakítsuk át az egyenletet:
(10x+y)z=(10y+z)x,10xz+yz=10xy+xz,9xz=y(10x-z).
A bal oldal osztható 9-cel, így a jobb oldalnak is oszthatónak kell lenni vele.
Három lehetőség van.
(1)  9y. Ez csak úgy lehet, hogy y=9. Így ekkor:
xz=10x-z,z(x+1)=10x,z=10xx+1.
x lehetséges értékeit behelyettesítve z értéke csak x=1, 4 és 9 esetén lesz egész szám (z értéke rendre 5, 8 és 9). Ezek a megoldások mind jók, tehát a megfelelő törtek: 1995, 4998, 9999.
(2)  9(10x-z)=9x+(x-z), azaz 9x-z. Itt 0|x-z|8 miatt csak x=z esetén van megoldás, és ezek mind jók. Mivel a jobb oldali tört értéke ekkor mindig 1, így csak x=y=z lehet. Tehát a megfelelő törtek: 1111, 2222, 3333, 4444, 5555, 6666, 7777, 8888, 9999.
(3)  3y és 3(10x-z). Itt két lehetőség is van: y=3 és y=6 (y=9-et már megnéztük).
Ha y=3, akkor
9xz=3(10x-z),3xz=10x-z,z(3x+1)=10x,z=10x3x+1.
Itt csak x=3 esetén lesz z egész szám, ekkor x=y=z=3, ami a 3333 törtet adja megoldásul.
Ha y=6, akkor
9xz=6(10x-z),3xz=20x-2z,z(3x+2)=20x,z=20x3x+2.
Itt az x=1, 2 és 6 számok adnak megoldást, ekkor z értéke rendre 4, 5 és 6. A megfelelő törtek: 1664, 2665, 6666. Tehát ezek a törtek a megoldások:
1995,4998,1111,2222,3333,4444,5555,6666,7777,8888,9999,1664,2665.