Feladat:	B.4768	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Wiandt Péter
Füzet:	2016/október, 407 - 408. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Oszthatóság
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2016/február: B.4768

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. A törtet felírhatjuk így: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\overline{xy}}{\overline{yz}}=\frac{10x+y}{10y+z}=\frac{x}{z}\mathrm{.}}\end{array}$ Mivel a szám kétjegyű, így $x$ és $y$ nem lehet 0, valamint $z$ sem, mivel egy tört nevezője nem lehet 0. Így $1\le x\mathrm{,}y\mathrm{,}z\le 9$. Alakítsuk át az egyenletet: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \left(10x+y\right)\cdot z}& {\displaystyle =\left(10y+z\right)\cdot x\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 10xz+yz}& {\displaystyle =10xy+xz\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 9xz}& {\displaystyle =y\cdot \left(10x-z\right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ A bal oldal osztható 9-cel, így a jobb oldalnak is oszthatónak kell lenni vele. Három lehetőség van. (1)  $9\mid y$. Ez csak úgy lehet, hogy $y=9$. Így ekkor: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle xz}& {\displaystyle =10x-z\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle z\left(x+1\right)}& {\displaystyle =10x\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle z}& {\displaystyle =\frac{10x}{x+1}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ $x$ lehetséges értékeit behelyettesítve $z$ értéke csak $x=1$, 4 és 9 esetén lesz egész szám ($z$ értéke rendre 5, 8 és 9). Ezek a megoldások mind jók, tehát a megfelelő törtek: $\frac{19}{95}$, $\frac{49}{98}$, $\frac{99}{99}$. (2)  $9\mid \left(10x-z\right)=9x+\left(x-z\right)\mathrm{,}$ azaz $9\mid x-z$. Itt $0\le |x-z|\le 8$ miatt csak $x=z$ esetén van megoldás, és ezek mind jók. Mivel a jobb oldali tört értéke ekkor mindig 1, így csak $x=y=z$ lehet. Tehát a megfelelő törtek: $\frac{11}{11}$, $\frac{22}{22}$, $\frac{33}{33}$, $\frac{44}{44}$, $\frac{55}{55}$, $\frac{66}{66}$, $\frac{77}{77}$, $\frac{88}{88}$, $\frac{99}{99}$. (3)  $3\mid y$ és $3\mid \left(10x-z\right)$. Itt két lehetőség is van: $y=3$ és $y=6$ ($y=9$-et már megnéztük). Ha $y=3$, akkor ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle 9xz}& {\displaystyle =3\left(10x-z\right)\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 3xz}& {\displaystyle =10x-z\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle z\left(3x+1\right)}& {\displaystyle =10x\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle z}& {\displaystyle =\frac{10x}{3x+1}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Itt csak $x=3$ esetén lesz $z$ egész szám, ekkor $x=y=z=3$, ami a $\frac{33}{33}$ törtet adja megoldásul. Ha $y=6$, akkor ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle 9xz}& {\displaystyle =6\left(10x-z\right)\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 3xz}& {\displaystyle =20x-2z\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle z\left(3x+2\right)}& {\displaystyle =20x\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle z}& {\displaystyle =\frac{20x}{3x+2}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Itt az $x=1$, 2 és 6 számok adnak megoldást, ekkor $z$ értéke rendre 4, 5 és 6. A megfelelő törtek: $\frac{16}{64}$, $\frac{26}{65}$, $\frac{66}{66}$. Tehát ezek a törtek a megoldások: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{19}{95}\mathrm{,}\frac{49}{98}\mathrm{,}\frac{11}{11}\mathrm{,}\frac{22}{22}\mathrm{,}\frac{33}{33}\mathrm{,}\frac{44}{44}\mathrm{,}\frac{55}{55}\mathrm{,}\frac{66}{66}\mathrm{,}\frac{77}{77}\mathrm{,}\frac{88}{88}\mathrm{,}\frac{99}{99}\mathrm{,}\frac{16}{64}\mathrm{,}\frac{26}{65}\mathrm{.}}\end{array}$