Feladat: B.4539 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Badacsonyi István András ,  Balogh Tamás ,  Bereczki Zoltán ,  Bingler Arnold ,  Bogár Blanka ,  Di Giovanni Márk ,  Dinev Georgi ,  Emri Tamás ,  Fonyó Viktória ,  Forrás Bence ,  Janzer Barnabás ,  Janzer Olivér ,  Maga Balázs ,  Makk László ,  Petrényi Márk ,  Sándor Krisztián ,  Sárosdi Zsombor ,  Simkó Irén ,  Somogyvári Kristóf ,  Szabó Tímea ,  Tossenberger Tamás ,  Venczel Tünde 
Füzet: 2015/május, 274 - 275. oldal  PDF file
Témakör(ök): Feladat, Síkgeometriai bizonyítások, Súlyvonal, Körülírt kör, Hatványvonal, hatványpont
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2013/április: B.4539

Az ABC háromszög súlypontja S, köréírt körének középpontja K. A BCS, CAS és ABS háromszögek köré írt körök középpontjai P, Q és R. Bizonyítsuk be, hogy a PQR háromszög súlypontja K.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
Megoldás. A PQR háromszög oldalai az SA, SB, SC szakaszok felezőmerőlegesei. Elegendő megmutatni, hogy az ABC háromszög oldalfelező merőlegesei a PQR háromszög súlyvonalai, hiszen ekkor a három egyenes közös K pontja a PQR háromszög súlypontja lesz. Ezt szimmetria okok miatt elég egy felezőmerőlegesre bizonyítani.
Jelölje az oldalak felezőpontjait az ábra szerint A0, B0 és C0, valamint PQ-nak és AB felezőmerőlegesének metszéspontját T. Ha megmutatjuk, hogy T felezi a PQ szakaszt, akkor bebizonyítottuk az állítást. Vetítsük a PQ szakaszt merőlegesen AB-re, P és Q képe legyen rendre E, illetve D. T képe nyilván C0, amivel AB felezőpontját jelöltük. Amennyiben T felezőpont, C0 felezi ED-t is, amiből AD=EB. Megfordítva: ha ez igaz, a feladat állítása is igaz.

 
 

A CS egyenes az ACS és BCS háromszögek köré írt körök közös húrja, vagyis hatványvonala. Emiatt C0-nak a két körre vonatkozó hatványa ugyanakkora, vagyis a körök AB-vel vett második metszéspontját G-vel és F-el jelölve:
C0FC0A=C0GC0B.

Mivel C0A=C0B0, leoszthatunk vele. Azt kapjuk, hogy C0F=C0G. Mivel C0 felezőpont, ebből következik, hogy AF=BG. AF és BG rendre az ACS, illetve BCS körök húrjai, így a D és E pontok felezik őket (mivel középpontból húrra bocsátott merőlegesek talppontjai). Tehát az AF=BG egyenlőséget kettővel osztva kapjuk, hogy AD=EB. Ezzel pedig bebizonyítottuk az állítást.