Feladat:	B.4626	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2015/április, 212. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Irracionális egyenlőtlenségek, Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenletek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2014/április: B.4626

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Vegyük észre, hogy a bal oldalon $\left(1+a\right)\left(1+b\right)=1+a+b+ab$, illetve a jobb oldalon is szerepel $ab$ első, $a+b$ pedig második hatványon. Próbáljuk meg valamelyik közepek közötti egyenlőtlenséget felhasználni. Mivel a jobb oldalon $a+b$ a második kitevőn szerepel, ezért a négy kifejezés, amire felírjuk majd az összefüggést, legyen $1$, $\frac{a+b}{2}$, $\frac{a+b}{2}$ és $ab$. Tudjuk, hogy minden nemnegatív. Legkézenfekvőbb a számtani és a mértani közepek közötti egyenlőtlenség felírása: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1+\frac{a+b}{2}+\frac{a+b}{2}+ab}{4}\ge \sqrt[4]{1\cdot \left(\frac{a+b}{2}\right)\left(\frac{a+b}{2}\right)ab}\mathrm{.}}\end{array}$ Ezt alakítva: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \frac{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}{4}}& {\displaystyle \ge \sqrt[4]{\frac{{\left(a+b\right)}^{2}ab}{4}}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \frac{{\left(1+a\right)}^4{\left(1+b\right)}^4}{4^4}}& {\displaystyle \ge \frac{{\left(a+b\right)}^{2}ab}{4}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle {\left(1+a\right)}^4{\left(1+b\right)}^4}& {\displaystyle \ge 4^3{\left(a+b\right)}^{2}ab=64{\left(a+b\right)}^{2}ab\mathrm{,}}\hfill \end{array}}$ ami éppen a bizonyítandó állítás.