Feladat: B.4626 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Füzet: 2015/április, 212. oldal  PDF file
Témakör(ök): Feladat, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Irracionális egyenlőtlenségek, Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenletek
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2014/április: B.4626

Igazoljuk, hogy (1+a)4(1+b)464ab(a+b)2 tetszőleges a,b0 számokra teljesül.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
Megoldás. Vegyük észre, hogy a bal oldalon (1+a)(1+b)=1+a+b+ab, illetve a jobb oldalon is szerepel ab első, a+b pedig második hatványon. Próbáljuk meg valamelyik közepek közötti egyenlőtlenséget felhasználni. Mivel a jobb oldalon a+b a második kitevőn szerepel, ezért a négy kifejezés, amire felírjuk majd az összefüggést, legyen 1, a+b2, a+b2 és ab. Tudjuk, hogy minden nemnegatív. Legkézenfekvőbb a számtani és a mértani közepek közötti egyenlőtlenség felírása:
1+a+b2+a+b2+ab41(a+b2)(a+b2)ab4.

Ezt alakítva:
(1+a)(1+b)4(a+b)2ab44,(1+a)4(1+b)444(a+b)2ab4,(1+a)4(1+b)443(a+b)2ab=64(a+b)2ab,
ami éppen a bizonyítandó állítás.