Feladat: B.4225 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Udvari Benjámin 
Füzet: 2010/október, 411 - 412. oldal  PDF file
Témakör(ök): Feladat, Egyenletrendszerek, ( x + 1/x ) > = 2 ( x > 0 )
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2009/december: B.4225

Oldjuk meg az
x+z+x+yy+z+y+z+x+yx+z=14-4x+z-4y+z,x+z+x+y+z+y=4
egyenletrendszert.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Vezessünk be új ismeretleneket: legyen x+y=a, y+z=b, x+z=c. Ezzel egyenletrendszerünk a következő alakot ölti:

c+ab+b+ac=14-4c-4b,(1)a+b+c=4.(2)
Az (1) egyenletben szereplő c+a,  b+a,  -4c-4b helyébe a (2) egyenlet szerint rendre 4-b,  4-c,  -4(4-a) írható, ezért az (1) egyenlet rendezés után:
4-bb+4-cc=14-4(4-a),1b+1c=a.
Ezt behelyettesítve a (2) egyenletbe kapjuk, hogy
(b+1b)+(c+1c)=4.
Pozitív szám és reciprokának összege legalább 2, és pontosan akkor 2, ha a szám 1. Mivel b és c pozitív, a kapott egyenlet szerint:
(b+1b)=(c+1c)=2,
így b=c=1, amiből a=4-b-c=2. Az eredeti ismeretlenekre ebből négyzetre emeléssel az
x+y=4,y+z=1,x+z=1
lineáris egyenletrendszert kapjuk, aminek egyértelmű megoldása:
x=2,y=2,z=-1.
Könnyen ellenőrizhető, hogy ez a számhármas kielégíti a feladat egyenleteit.