Kezdőlap


Feladat:	B.4225	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Udvari Benjámin
Füzet:	2010/október, 411 - 412. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Egyenletrendszerek, ( x + 1/x ) > = 2 ( x > 0 )
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2009/december: B.4225

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Vezessünk be új ismeretleneket: legyen $\sqrt[]{x + y} = a$ , $\sqrt[]{y + z} = b$ , $\sqrt[]{x + z} = c$ . Ezzel egyenletrendszerünk a következő alakot ölti:

\begin{matrix} \frac{c + a}{b} + \frac{b + a}{c} & = 14 - 4 c - 4 b, & (1) \\ a + b + c & = 4. & (2) \end{matrix}

Az (1) egyenletben szereplő

c + a

b + a

- 4 c - 4 b

helyébe a (2) egyenlet szerint rendre

4 - b

4 - c

- 4 (4 - a)

írható, ezért az (1) egyenlet rendezés után:

\begin{matrix} \frac{4 - b}{b} + \frac{4 - c}{c} & = 14 - 4 (4 - a), \\ \frac{1}{b} + \frac{1}{c} & = a . \end{matrix}

Ezt behelyettesítve a (2) egyenletbe kapjuk, hogy

\begin{matrix} (b + \frac{1}{b}) + (c + \frac{1}{c}) = 4. \end{matrix}

Pozitív szám és reciprokának összege legalább 2, és pontosan akkor 2, ha a szám 1. Mivel

b

és

c

pozitív, a kapott egyenlet szerint:

\begin{matrix} (b + \frac{1}{b}) = (c + \frac{1}{c}) = 2, \end{matrix}

így

b = c = 1

, amiből

a = 4 - b - c = 2

. Az eredeti ismeretlenekre ebből négyzetre emeléssel az

\begin{matrix} x + y = 4, y + z = 1, x + z = 1 \end{matrix}

lineáris egyenletrendszert kapjuk, aminek egyértelmű megoldása:

\begin{matrix} x = 2, y = 2, z = - 1. \end{matrix}

Könnyen ellenőrizhető, hogy ez a számhármas kielégíti a feladat egyenleteit.