Feladat: B.4591 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Ágoston Péter ,  Fekete Panna ,  Kúsz Ágnes ,  Maga Balázs ,  Mócsy Miklós 
Füzet: 2015/január, 14 - 15. oldal  PDF file
Témakör(ök): Feladat, Különleges függvények, Konstruktív megoldási módszer
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2013/december: B.4591

Legyen α irracionális szám. Minden q pozitív egészre legyen Nq(α)=min{|α-pq|:pZ}, vagyis a legközelebbi olyan törttől való távolság, amely felírható q nevezővel (nem feltétlenül redukált alakban). Mutassuk meg, hogy létezik olyan k, amelyre
q=1kNq(α)>1.


A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
Megoldás. Legyen β=min{|β-n|:nZ}. Először igazoljuk azt a jól ismert állítást, hogy tetszőleges β, γ valós számokra fennáll a β+γβ+γ egyenlőtlenség. Definíció szerint léteznek olyan b és c egész számok, melyekre β-b=±β és γ-c=±γ. Így
β+γ|β+γ-(b+c)||β-b|+|γ-c|=β+γ.

Az imént bevezetett jelöléssel
Nq(α)=min{|α-pq|:pZ}=1qmin{|qα-p|:pZ}=qαq.
Vizsgáljuk most
N2q(α)+N2q+1(α)=2qα2q+(2q+1)α2q+1
értékét. Először megmutatjuk, hogy a 2qαα/2 és a (2q+1)αα/2 egyenlőtlenségek közül legalább az egyik teljesül. Ha ugyanis 2qα<α/2, akkor
(2q+1)α=2qα+αα-2qαα-α/2=α/2.
Tehát az állítás valóban teljesül.
Ekkor viszont az N2q(α)α/22q és az N2q+1(α)α/22q+1 egyenlőtlenségek közül is legalább az egyik teljesül, és mivel N2q(α) és N2q+1(α) is nemnegatív, valamint max(2q,2q+1)3q, azért N2q(α)+N2q+1(α)α/23q.
Ezt az egyenlőtlenséget q=1,2,...,k-12-re felírva és összeadva a következő becslést kapjuk:
q=1kNq(α)q=1k-12α6q.
Az α irracionális, ezért α>0, továbbá q=11q=, így elegendően nagy k-ra
q=1kNq(α)q=1k-12α6q>1
teljesül.