Feladat:	B.4348	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Baumgarter Róbert ,  Bogár Blanka ,  Bősze Zsuzsanna ,  Damásdi Gábor ,  Dolgos Tamás ,  Énekes Péter ,  Frittmann Júlia ,  Földvári Gábor ,  Köpenczei Gergő ,  Máthé László ,  Nagy Róbert ,  Schulz Vera Magdolna ,  Simig Dániel ,  Szabó Bence ,  Tekeli Tamás ,  Weisz Gellért ,  Zsakó András
Füzet:	2013/február, 85 - 86. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Húrnégyszögek, Középponti és kerületi szögek, Síkgeometriai bizonyítások, Középpontos tükrözés
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2011/március: B.4348

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Felhasználva, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle BB\text{'}C\sphericalangle =CC\text{'}B\sphericalangle ={90}^{\circ }\mathrm{,}AA\text{'}D\sphericalangle =DD\text{'}A\sphericalangle ={90}^{\circ }\mathrm{,}}\end{array}$ a $BB\text{'}C\text{'}C$ és az $AA\text{'}D\text{'}D$ négyszög is húrnégyszög csakúgy, mint $AB\text{'}A\text{'}B$ és $CD\text{'}C\text{'}D$. A kerületi szögek tétele alapján (az $ABCD$ húrnégyszögben) a $BC$ húr az $A$ és $D$ pontokból ugyanakkora szögben látszik, azaz $BAC\sphericalangle =BDC\sphericalangle$. Hasonlóan, az $AA\text{'}D\text{'}D$ húrnégyszögben $A\text{'}AD\text{'}\sphericalangle =A\text{'}DD\text{'}\sphericalangle$. Így $\begin{array}{c}{\displaystyle BAA\text{'}\sphericalangle =BAC\sphericalangle -A\text{'}AD\text{'}\sphericalangle =BDC\sphericalangle -A\text{'}DD\text{'}\sphericalangle =D\text{'}DC\sphericalangle \mathrm{.}}\end{array}$ Az $ABA\text{'}B\text{'}$ húrnégyszögben $A\text{'}B\text{'}B\sphericalangle =BAA\text{'}\sphericalangle$, a $CDC\text{'}D\text{'}$ húrnégyszögben pedig $D\text{'}C\text{'}C\sphericalangle =D\text{'}DC\sphericalangle$, ezért $D\text{'}C\text{'}C\sphericalangle =A\text{'}B\text{'}B\sphericalangle$, ahonnan $\begin{array}{c}{\displaystyle D\text{'}C\text{'}A\text{'}\sphericalangle ={90}^{\circ }-D\text{'}C\text{'}C\sphericalangle ={90}^{\circ }-A\text{'}B\text{'}B\sphericalangle =A\text{'}B\text{'}D\text{'}\sphericalangle \mathrm{,}}\end{array}$ tehát ‐ a kerületi szögek tételének megfordításával ‐ $A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$ húrnégyszög. Hátra van annak a belátása, hogy az $A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$ húrnégyszög köré írt körének középpontja éppen az $EFGH$ négyszög átlóinak metszéspontja. Mivel az $EF$ és $GH$ egyenesek az $AC$ átlóra, $EH$ és $FG$ pedig a $BD$-re merőlegesek, az $EFGH$ négyszög paralelogramma, aminek a középpontja az átlóinak a metszéspontja. E paralelogramma középpontján keresztül az $EF$ és $GH$ oldalakkal párhuzamos egyenes (e két egyenes középpárhuzamosa) merőleges $D\text{'}B\text{'}$-re, és minden pontja egyenlő távolságra van az $EF$ és a $GH$ egyenesektől.     Ebből következik, hogy ez az egyenes a $D\text{'}B\text{'}$ szakasz felező merőlegese. Ezzel azt kaptuk, hogy az $EFGH$ paralelogramma középpontja rajta van a $D\text{'}B\text{'}$ szakasz felező merőlegesén, és ehhez teljesen hasonlóan az $A\text{'}C\text{'}$ szakasz felező merőlegesén is. E két egyenesnek azonban egyetlen közös pontja az $A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$ húrnégyszög köré írt körének a középpontja.   Megjegyzés. Ha az átlók metszéspontja $M$, akkor az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy az $AMB$ szög hegyesszög. Ebben az esetben az $A\text{'}$, $B\text{'}$, $C\text{'}$, $D\text{'}$ pontok rendre az $MB$, $MA$, $MD$, $MC$ nyílt félegyeneseken helyezkednek el. Az egyszerűség kedvéért feltettük, hogy az említett pontok az $MB$, $MA$, $MD$, $MC$ belsejébe esnek; a feladat állítása a többi esetben is a leírthoz hasonló meggondolásokkal igazolható.