Feladat: B.4348 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Baumgarter Róbert ,  Bogár Blanka ,  Bősze Zsuzsanna ,  Damásdi Gábor ,  Dolgos Tamás ,  Énekes Péter ,  Frittmann Júlia ,  Földvári Gábor ,  Köpenczei Gergő ,  Máthé László ,  Nagy Róbert ,  Schulz Vera Magdolna ,  Simig Dániel ,  Szabó Bence ,  Tekeli Tamás ,  Weisz Gellért ,  Zsakó András 
Füzet: 2013/február, 85 - 86. oldal  PDF file
Témakör(ök): Feladat, Húrnégyszögek, Középponti és kerületi szögek, Síkgeometriai bizonyítások, Középpontos tükrözés
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2011/március: B.4348

Az ABCD húrnégyszög átlói nem merőlegesek egymásra. Az A, B, C, D csúcsokból a csúcsokon át nem menő átlókra bocsátott merőlegesek talppontjai rendre A', B', C'D'. Az AA' és DD', DD' és CC', CC' és BB', végül a BB' és AA' egyenesek metszéspontjai rendre E, F, GH. Bizonyítsuk be, hogy az A'B'C'D' olyan húrnégyszög, mely körülírt körének középpontja az EG és FH szakaszok metszéspontja.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
Megoldás. Felhasználva, hogy
BB'C=CC'B=90,AA'D=DD'A=90,
BB'C'C és az AA'D'D négyszög is húrnégyszög csakúgy, mint AB'A'B és CD'C'D.
A kerületi szögek tétele alapján (az ABCD húrnégyszögben) a BC húr az A és D pontokból ugyanakkora szögben látszik, azaz BAC=BDC. Hasonlóan, az AA'D'D húrnégyszögben A'AD'=A'DD'. Így
BAA'=BAC-A'AD'=BDC-A'DD'=D'DC.
Az ABA'B' húrnégyszögben A'B'B=BAA', a CDC'D' húrnégyszögben pedig D'C'C=D'DC, ezért D'C'C=A'B'B, ahonnan
D'C'A'=90-D'C'C=90-A'B'B=A'B'D',
tehát ‐ a kerületi szögek tételének megfordításával ‐ A'B'C'D' húrnégyszög.
Hátra van annak a belátása, hogy az A'B'C'D' húrnégyszög köré írt körének középpontja éppen az EFGH négyszög átlóinak metszéspontja. Mivel az EF és GH egyenesek az AC átlóra, EH és FG pedig a BD-re merőlegesek, az EFGH négyszög paralelogramma, aminek a középpontja az átlóinak a metszéspontja. E paralelogramma középpontján keresztül az EF és GH oldalakkal párhuzamos egyenes (e két egyenes középpárhuzamosa) merőleges D'B'-re, és minden pontja egyenlő távolságra van az EF és a GH egyenesektől.
 
 
Ebből következik, hogy ez az egyenes a D'B' szakasz felező merőlegese. Ezzel azt kaptuk, hogy az EFGH paralelogramma középpontja rajta van a D'B' szakasz felező merőlegesén, és ehhez teljesen hasonlóan az A'C' szakasz felező merőlegesén is. E két egyenesnek azonban egyetlen közös pontja az A'B'C'D' húrnégyszög köré írt körének a középpontja.

 

Megjegyzés. Ha az átlók metszéspontja M, akkor az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy az AMB szög hegyesszög. Ebben az esetben az A', B', C', D' pontok rendre az MB, MA, MD, MC nyílt félegyeneseken helyezkednek el. Az egyszerűség kedvéért feltettük, hogy az említett pontok az MB, MA, MD, MC belsejébe esnek; a feladat állítása a többi esetben is a leírthoz hasonló meggondolásokkal igazolható.