Feladat:	B.4331	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Ágoston Péter ,  Beke Lilla ,  Damásdi Gábor ,  Énekes Péter ,  Fonyó Viktória ,  Hajnal Máté ,  Herczeg József ,  Homonnay Bálint ,  Kabos Eszter ,  Lenger Dániel ,  Maga Balázs ,  Nagy Bence Kristóf ,  Nagy Róbert ,  Perjési Gábor ,  Rábai Domonkos ,  Simig Dániel ,  Szende Tamás ,  Tatár Dániel ,  Vajda Balázs ,  Viharos Andor ,  Weisz Gellért
Füzet:	2012/november, 475 - 476. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Síkgeometriai bizonyítások, Ponthalmazok, Kombinatorikus geometria
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2011/január: B.4331

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Jelöljük a konvex sokszög csúcsait $A_1\mathrm{,}{A}_2\mathrm{,}{A}_3\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{A}_n$-nel. Rajzoljuk meg a sokszög $A_1$ csúcsából induló összes átlóját, melyek $\text{K}$ konvexsége miatt a sokszöget részháromszögekre bontják. Két esetet különböztethetünk meg.   1. eset: a $P$ pont egyik átlóra sem illeszkedik, és így valamelyik $A_1{A}_i{A}_{i+1}$ háromszögnek belső pontja (ábra). Ekkor a $P$ pontból $\lambda =\frac{1}{2}$ arányú középpontos hasonlóságot alkalmazva az $A_1{A}_i{A}_{i+1}$ háromszög oldalegyeneseinek képei három olyan egyenest szolgáltatnak, amelyek teljesítik a feladat feltételeit. Az $A_1{A}_i$ egyenes képe, $e$ ugyanis két különböző nyílt félsíkba sorolja $P$-t és az $A_1{A}_2\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{A}_{i-1}{A}_i$ oldalszakaszokat, az $A_i{A}_{i+1}$ egyenes képe, $f$ elválasztja $P$-t és az $A_i{A}_{i+1}$ oldalszakaszt, végül az $A_{i+1}{A}_1$ egyenes képe, $g$ elválasztja $P$-t az $A_{i+1}{A}_{i+2}\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{A}_n{A}_1$ oldalszakaszoktól.       2. eset: $P$ az $A_1{A}_i$ átlóra esik. Ekkor az előző esethez hasonlóan a $P$-ből $\lambda =\frac{1}{2}$ arányú középpontos hasonlóságot alkalmazva az $A_1{A}_{i-1}{A}_i{A}_{i+1}$ négyszög oldalegyeneseinek képei négy olyan egyenest szolgáltatnak, melyek teljesítik a feladat feltételeit, ugyanis az $A_1{A}_{i-1}$ egyenes képe elválasztja $P$-t az $A_1{A}_2\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{A}_{i-2}\mathrm{,}{A}_{i-1}$ oldalszakaszoktól, az $A_{i-1}{A}_i$ egyenes képe az $A_{i-1}{A}_i$ oldalszakasztól, az $A_i{A}_{i+1}$ egyenes képe az $A_i{A}_{i+1}$ oldalszakasztól, az $A_{i+1}{A}_1$ egyenes képe pedig az $A_{i+1}{A}_{i+2}\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{A}_n{A}_1$ oldalszakaszoktól. A továbbiakban megmutatjuk, hogy három egyenes esetén az állítás már nem feltétlenül igaz tetszőleges konvex sokszögre. Legyen például $\text{K}$ egy négyzet, $P$ pedig e négyzet középpontja. Ekkor tetszőleges egyenes a négyzet oldalszakaszai közül legfeljebb egyet válaszhat el $P$-től. Tegyük fel ugyanis, hogy egy ilyen egyenes két oldalszakasztól is elválasztja $P$-t; ekkor ezen oldalak végpontjainak konvex burkától is elválasztaná. Ebben azonban benne van legalább két szemköztes csúcs, így azok összekötő szakasza is, ami tartalmazza $P$-t magát is, és ez ellentmondás.