Feladat: B.4331 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Ágoston Péter ,  Beke Lilla ,  Damásdi Gábor ,  Énekes Péter ,  Fonyó Viktória ,  Hajnal Máté ,  Herczeg József ,  Homonnay Bálint ,  Kabos Eszter ,  Lenger Dániel ,  Maga Balázs ,  Nagy Bence Kristóf ,  Nagy Róbert ,  Perjési Gábor ,  Rábai Domonkos ,  Simig Dániel ,  Szende Tamás ,  Tatár Dániel ,  Vajda Balázs ,  Viharos Andor ,  Weisz Gellért 
Füzet: 2012/november, 475 - 476. oldal  PDF file
Témakör(ök): Feladat, Síkgeometriai bizonyítások, Ponthalmazok, Kombinatorikus geometria
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2011/január: B.4331

Mutassuk meg, hogy ha a K konvex sokszögnek P belső pontja, akkor megadható a síkon négy egyenes úgy, hogy K bármely oldalszakaszához van az adott egyenesek közt olyan, amely által meghatározott két nyílt félsík egyike P-t, másika pedig az oldalszakaszt tartalmazza. Igaz-e az állítás, ha csak három egyenest adhatunk meg?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
Megoldás. Jelöljük a konvex sokszög csúcsait A1,A2,A3,...,An-nel. Rajzoljuk meg a sokszög A1 csúcsából induló összes átlóját, melyek K konvexsége miatt a sokszöget részháromszögekre bontják.
Két esetet különböztethetünk meg.
 
1. eset:P pont egyik átlóra sem illeszkedik, és így valamelyik A1AiAi+1 háromszögnek belső pontja (ábra).
Ekkor a P pontból λ=12 arányú középpontos hasonlóságot alkalmazva az A1AiAi+1 háromszög oldalegyeneseinek képei három olyan egyenest szolgáltatnak, amelyek teljesítik a feladat feltételeit. Az A1Ai egyenes képe, e ugyanis két különböző nyílt félsíkba sorolja P-t és az A1A2,...,Ai-1Ai oldalszakaszokat, az AiAi+1 egyenes képe, f elválasztja P-t és az AiAi+1 oldalszakaszt, végül az Ai+1A1 egyenes képe, g elválasztja P-t az Ai+1Ai+2,...,AnA1 oldalszakaszoktól.

 
 

 

2. eset: P az A1Ai átlóra esik.
Ekkor az előző esethez hasonlóan a P-ből λ=12 arányú középpontos hasonlóságot alkalmazva az A1Ai-1AiAi+1 négyszög oldalegyeneseinek képei négy olyan egyenest szolgáltatnak, melyek teljesítik a feladat feltételeit, ugyanis az A1Ai-1 egyenes képe elválasztja P-t az A1A2,...,Ai-2,Ai-1 oldalszakaszoktól, az Ai-1Ai egyenes képe az Ai-1Ai oldalszakasztól, az AiAi+1 egyenes képe az AiAi+1 oldalszakasztól, az Ai+1A1 egyenes képe pedig az Ai+1Ai+2,...,AnA1 oldalszakaszoktól.
A továbbiakban megmutatjuk, hogy három egyenes esetén az állítás már nem feltétlenül igaz tetszőleges konvex sokszögre.
Legyen például K egy négyzet, P pedig e négyzet középpontja. Ekkor tetszőleges egyenes a négyzet oldalszakaszai közül legfeljebb egyet válaszhat el P-től. Tegyük fel ugyanis, hogy egy ilyen egyenes két oldalszakasztól is elválasztja P-t; ekkor ezen oldalak végpontjainak konvex burkától is elválasztaná. Ebben azonban benne van legalább két szemköztes csúcs, így azok összekötő szakasza is, ami tartalmazza P-t magát is, és ez ellentmondás.