Feladat: B.4367 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Varga Szabolcs 
Füzet: 2012/március, 147 - 148. oldal  PDF file
Témakör(ök): Feladat, Irracionális egyenletek, Irracionális egyenlőtlenségek
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2011/május: B.4367

Oldjuk meg a következő egyenletet:
3x+3x=4+x+1x2-x+1.


A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
Megoldás. A x nevezőben szerepel, így x>0, továbbá x2-x+1 minden valós x-re pozitív értéket vesz fel, mivel
x2-x+1=(x-12)2+34.
A bal oldali kifejezés becsléséhez felhasználjuk, hogy a>0 esetén a+1a2. Írjuk át az egyenlet bal oldalát és becsüljük meg az előbbi egyenlőtlenség segítségével:
3x+3x=3(x+1x)6.
Tehát látjuk, hogy
4+x+1x2-x+16,x+1x2-x+12.
Tudjuk, hogy x+1 is pozitív, emiatt az egyenlőtlenséget négyzetre emelhetjük és beszorozhatunk a nevezővel:
x2+2x+14x2-4x+4,03x2-6x+3,0(x-1)2.
Az egyenletnek tehát csak x=1 lehet az egyedüli megoldása. Behelyettesítés után látjuk, hogy ez valóban megoldás is.