Feladat:	B.4367	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Varga Szabolcs
Füzet:	2012/március, 147 - 148. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Irracionális egyenletek, Irracionális egyenlőtlenségek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2011/május: B.4367

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. A $\sqrt[]{x}$ nevezőben szerepel, így $x>0$, továbbá $x^2-x+1$ minden valós $x$-re pozitív értéket vesz fel, mivel $\begin{array}{c}{\displaystyle x^2-x+1={\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}\mathrm{.}}\end{array}$ A bal oldali kifejezés becsléséhez felhasználjuk, hogy $a>0$ esetén $a+\frac{1}{a}\ge 2$. Írjuk át az egyenlet bal oldalát és becsüljük meg az előbbi egyenlőtlenség segítségével: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{3x+3}{\sqrt[]{x}}=3\left(\sqrt[]{x}+\frac{1}{\sqrt[]{x}}\right)\ge 6.}\end{array}$ Tehát látjuk, hogy ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle 4+\frac{x+1}{\sqrt[]{x^2-x+1}}}& {\displaystyle \ge \mathrm{6,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \frac{x+1}{\sqrt[]{x^2-x+1}}}& {\displaystyle \ge 2.}\hfill \end{array}}$ Tudjuk, hogy $x+1$ is pozitív, emiatt az egyenlőtlenséget négyzetre emelhetjük és beszorozhatunk a nevezővel: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle x^2+2x+1}& {\displaystyle \ge 4x^2-4x+\mathrm{4,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 0}& {\displaystyle \ge 3x^2-6x+\mathrm{3,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 0}& {\displaystyle \ge {\left(x-1\right)}^2\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Az egyenletnek tehát csak $x=1$ lehet az egyedüli megoldása. Behelyettesítés után látjuk, hogy ez valóban megoldás is.